質問と添削

問題

関数 $f_1(x)=1-x,\ f_2(x)=\dfrac{1}{1-x},\ f_3(x)=\dfrac{x}{x-1},\ f_4(x)=\dfrac{x-1}{x}$ について、次のことを示せ。
(1) $(f_1\circ f_3)(x)=f_2(x)$
(2) $(f_4\circ f_2)(x)=(f_3\circ f_3)(x)$
(3) $f_4^{-1}(x)=f_2(x)$

書いたもの

$f_1(x)=1-x$　定義域なし　値域なし
$f_2(x)=\dfrac{1}{1-x}$　定義域 $x\neq1$　値域 $y\neq0$
$f_3(x)=\dfrac{x}{x-1}$　定義域 $x\neq1$　値域 $y\neq1$
$f_4(x)=\dfrac{x-1}{x}$　定義域 $x\neq0$　値域 $y\neq1$
(1) $f_3$ の値域は $f_1$ の定義域に含まれるので …
(2) $f_2$ の値域は $f_4$ の定義域に含まれる。$f_3$ の値域は $f_3$ の定義域に含まれる。よって それぞれ合成できる

どこがまずいか

$f_1$ の行の「定義域なし　値域なし」。

言いたいのは「制限が無い＝実数全体」。でも「定義域なし」をそのまま読むと「入れられる $x$ が1つも無い」（定義域が空集合）になる。言いたいことと逆の意味になる書き方。
採点者は書いてあるとおりに読むので、「定義域が無い関数」と書いたものとして誤りに数えられうる。

しかもこの答案では、その直後に「$f_3$ の値域は $f_1$ の定義域に含まれるので合成できる」と使っている。$f_1$ の定義域が「なし（空集合）」なら、$y\neq1$ の数はそこに含まれず、合成できないことになる。理由づけの1行目が、自分で書いた「なし」と食いちがってしまう。

ほかの3つ（$f_2,\ f_3,\ f_4$ の定義域・値域）はどれも合っている（$f_3=1+\frac1{x-1},\ f_4=1-\frac1x$ なので値域はどちらも $y\neq1$）。$f_2$ の値域が $f_4$ の定義域に、$f_3$ の値域が $f_3$ の定義域に入る、という合成できる理由の書き方もよい。直すのは $f_1$ の言葉だけ。
同じ書き方が 数3-p22-問題7 にもある（別の件）。

こう書く

$f_1(x)=1-x$　定義域は実数全体、値域は実数全体
$f_2(x)=\dfrac{1}{1-x}$　定義域 $x\neq1$、値域 $y\neq0$
$f_3(x)=\dfrac{x}{x-1}=1+\dfrac{1}{x-1}$　定義域 $x\neq1$、値域 $y\neq1$
$f_4(x)=\dfrac{x-1}{x}=1-\dfrac1x$　定義域 $x\neq0$、値域 $y\neq1$

(1) $f_3$ の値域は $f_1$ の定義域（実数全体）に含まれるので、$f_1\circ f_3$ の定義域は $f_3$ と同じ $x\neq1$ で、

定義域もともに $x\neq1$ で一致するので、$(f_1\circ f_3)(x)=f_2(x)$。（終）

(2) $f_2$ の値域 $y\neq0$ は $f_4$ の定義域 $x\neq0$ に含まれ、$f_3$ の値域 $y\neq1$ は $f_3$ の定義域 $x\neq1$ に含まれるので、どちらも合成でき、定義域はともに $x\neq1$。$x\neq1$ において

よって $(f_4\circ f_2)(x)=(f_3\circ f_3)(x)$。（終）

問題

関数 $y=\sqrt{3x+6}$ が $0\le x\le a$ の範囲において最大値 $2\sqrt3$ をとるように、定数 $a$ の値を定めよ。

書いたもの

$y=\sqrt{3x+6}\ (0\le x\le a)$　max $2\sqrt3$
$y^2=3x+6\ (y\ge0)$
$x=\dfrac13y^2-2$
（グラフ：$x=-2$ から右上へのびる曲線をかき、$0\le x\le a$ の部分を実線にしている）
$y=2\sqrt3$ のときの $x$ が求める $a$
$a=x=\dfrac13(2\sqrt3)^2-2=\dfrac13\cdot12-2=2$

どこがまずいか

「$y=2\sqrt3$ のときの $x$ が求める $a$」の1行に、**なぜ最大値をとる場所が $x=a$（右の端）なのか**が書いていない。

最大値 $2\sqrt3$ をとるのは「$0\le x\le a$ の中で $y$ がいちばん大きくなる $x$」。それが右の端 $x=a$ だと言えるのは、$y=\sqrt{3x+6}$ が単調に増加するから。この理由が無いと、「最大値をとる場所」と「$y=2\sqrt3$ になる場所」を、何も言わずに同じものとして扱っていることになる。
グラフはかいてあって、見れば増えているのは分かる。でも採点者は文で書いてあることしか論証として数えない。

この書き方だと何がまぎれこむか：同じ手順を、増加でない関数にあてると答えがずれる。
例：$y=-x^2+2x+3\ (0\le x\le a)$ の最大値が $4$ になる $a$ を求める。
「$y=4$ のときの $x$ が $a$」とすると、$-x^2+2x+3=4$ より $x=1$ で、$a=1$ と答えてしまう。
ところが $y=-(x-1)^2+4$ は $x=1$ で頂点なので、$a\ge1$ ならどれでも最大値は $4$（$a=1,\ 2,\ 3,\ 4$ で最大値がどれも $4$ になるのを python で確かめた）。正しい答えは $a\ge1$。
今回は単調増加なので答えは合っている。ただ、答えを出した理由の芯（最大は $x=a$）が抜けているので、記述では削られる。

もう1つ小さいこと：求めた $a=2$ が範囲 $0\le x\le a$ として意味をもつ（$a\ge0$）ことも、1言添えると締まる。

こう書く

$y=\sqrt{3x+6}$ は $x\ge-2$ で単調に増加する。
よって $0\le x\le a$ における最大値は $x=a$ のときの値 $\sqrt{3a+6}$ である。
これが $2\sqrt3$ に等しいので

これは $a>0$ を満たす。

答　$a=2$

問題

関数 $y=\dfrac{ax+b}{2x+1}$ のグラフが点 $(-1,1)$ を通り、その漸近線の1つが直線 $y=2$ であるとき、定数 $a,\ b$ の値を求めよ。また、この関数のグラフをかけ。

書いたもの

$y=\dfrac{ax+b}{2x+1}$　$(-1,1)$ を代入すると　$1=\dfrac{-a+b}{-1}$
$1=a-b$ …①
$b=a-1$ を代入
$y=\dfrac{ax+a-1}{2x+1}=\dfrac{a\left(x+\frac12\right)+\frac a2-1}{2\left(x+\frac12\right)}=\dfrac{\frac a2-1}{2\left(x+\frac12\right)}+\dfrac a2$
漸近線が $y=2$ なので　$\dfrac a2=2$　$a=4$、$b=3$
（グラフはかいていない）

どこがまずいか

穴は2つ。

1つ目：「また、この関数のグラフをかけ」に答えていない。
問題は2つのことを聞いている（$a,\ b$ の値と、グラフ）。答案は $a=4,\ b=3$ で終わっていて、グラフが無い。後半の配点はまるごと0点になる。
グラフをかくには、$a=4,\ b=3$ を入れた式を $y=\dfrac{k}{2x+1}+q$ の形に直して、漸近線と軸との交点を出す必要がある。その式も答案に無い。

**2つ目：分数の部分が消えないこと（$\frac a2-1\neq0$）を確かめていない。**
「漸近線が $y=\frac a2$」と読めるのは、$\dfrac{\frac a2-1}{2\left(x+\frac12\right)}$ の分子が $0$ でないとき、つまりグラフが本当に双曲線になるときだけ。
分子が $0$ になると、$y$ は $x\neq-\frac12$ でずっと $\frac a2$ の定数で、グラフは穴のあいた直線になる。漸近線は1本も無い。

だから「漸近線の1つが $y=2$」から言えるのは

• $\dfrac a2=2$　かつ　$\dfrac a2-1\neq0$

の2つで、答案は前半しか使っていない。

この書き方だと何がまぎれこむか：同じ手順で、もし問題が「漸近線の1つが $y=1$」だったとする。
$\dfrac a2=1$ より $a=2$、$b=a-1=1$。答えを $a=2,\ b=1$ と出してしまう。
ところが $y=\dfrac{2x+1}{2x+1}=1\ \left(x\neq-\frac12\right)$ で、漸近線は無い（$x=-3,0,1,10$ で全部 $y=1$・python で確かめた）。本当の答えは「そのような $a,\ b$ は無い」。
今回は $\frac a2-1=1\neq0$ なので答えは合っている。ただ、条件を半分しか使っていない答案なので、記述では「確かめが無い」として削られうる。

こう書く

$y=\dfrac{ax+b}{2x+1}$ が点 $(-1,1)$ を通るので

このとき

$\dfrac a2-1=0$ のとき $y=\dfrac a2\ \left(x\neq-\frac12\right)$ となり漸近線をもたないので、$\dfrac a2-1\neq0$。
このときグラフは直線 $x=-\dfrac12,\ y=\dfrac a2$ を漸近線とする双曲線である。
漸近線の1つが $y=2$ なので $\dfrac a2=2$、$a=4$。$b=a-1=3$。これは $\dfrac a2-1=1\neq0$ を満たす。

答　$a=4,\ b=3$

このとき

漸近線は $x=-\dfrac12,\ y=2$。
$x=0$ のとき $y=3$、$y=0$ のとき $4x+3=0$ より $x=-\dfrac34$。

グラフ：漸近線 $x=-\frac12,\ y=2$ の交点 $\left(-\frac12,2\right)$ を中心とする双曲線で、右上と左下の2本。

• 右上の枝：点 $(0,3)$ を通り、$x\to-\frac12+0$ で上へ、$x\to\infty$ で $y=2$ に上から近づく
• 左下の枝：点 $\left(-\frac34,0\right)$ と $(-1,1)$ を通り、$x\to-\frac12-0$ で下へ、$x\to-\infty$ で $y=2$ に下から近づく

（答案ではこの形を座標軸の上にかき、漸近線を点線、$3,\ -\frac34,\ -\frac12,\ 2$ を目盛りに書きこむ）

問題

右の図は、$x$ 軸を漸近線としてもつ指数関数 $y=f(x)$ と、$y$ 軸を漸近線としてもつ対数関数 $y=g(x)$ のグラフである（図から読める値：$f(0)=1,\ f(1)=p^2$、$g(1)=0,\ g(p)=1$）。
合成関数 $y=(g\circ f)(x),\ y=(f\circ g)(x)$ の説明として正しいものを、それぞれ ①〜④ からすべて選べ。
① 定義域は実数全体である　② 値域は実数全体である　③ グラフが原点を通る　④ グラフ全体が $x$ 軸より上側にある

書いたもの

$f(x)=p^{2x}$（定義域なし．値域 $0<y$）
$g(x)=\log_px$（定義域 $0<x$．値域なし）
$f(x)>0$ は $g(x)$ の定義域に含まれるので合成できる．
…
$g(x)$ の値域は $f(x)$ の定義域に含まれるので合成できる．

どこがまずいか

$f$ の「定義域なし」と $g$ の「値域なし」。

言いたいのは「制限が無い＝実数全体」。でも「なし」をそのまま読むと「定義域（値域）が空っぽ」になる。言いたいことと逆の意味になる書き方。

この問題ではとくに困る。選択肢 ①「定義域は実数全体である」②「値域は実数全体である」が、まさにそこを聞いている。$f$ の定義域を「なし」と書いたままだと、$g\circ f$ の定義域（$f$ の定義域から来る）も「なし」になり、①を選ぶ理由が答案の中で立たない。

もう1つ、答案の後半で「$g(x)$ の値域は $f(x)$ の定義域に含まれるので合成できる」と書いている。書いたとおりに読むと「なし ⊂ なし」で、何を比べたのか分からない。比べたいのは「実数全体 ⊂ 実数全体」。

答え（$g\circ f$ は ①②③、$f\circ g$ は ④）は合っている。でも言葉が逆の意味に読めるので、記述では誤りに数えられうる。
同じ書き方が 数3-p23-演習4 の $f_1$ にもある（別の件）。

こう書く

図より $f(0)=1,\ f(1)=p^2$ なので $f(x)=(p^2)^x=p^{2x}$（$p>1$）。定義域は実数全体、値域は $y>0$。
$g(1)=0,\ g(p)=1$ なので $g(x)=\log_px$。定義域は $x>0$、値域は実数全体。

$f$ の値域 $y>0$ は $g$ の定義域 $x>0$ に含まれるので $g\circ f$ が作れ、その定義域は $f$ の定義域と同じ実数全体。

定義域・値域ともに実数全体で、原点を通る直線。→ ①②③

$g$ の値域（実数全体）は $f$ の定義域（実数全体）に含まれるので $f\circ g$ が作れ、その定義域は $g$ の定義域と同じ $x>0$。

値域は $y>0$。$x=0$ を含まないので原点は通らない。グラフ全体が $x$ 軸より上にある。→ ④

答　$(g\circ f)(x)$ は ①②③、$(f\circ g)(x)$ は ④

問題

関数 $f(x)=\sqrt{x-1}$ とその逆関数 $f^{-1}(x)$ について、$(f^{-1}\circ f)(x)=x$ が成り立つことを示せ。

書いたもの

$f(x)=\sqrt{x-1}$（赤で「$f(x)$ の定義域は $x\ge1$、値域は $y\ge0$」）
$y=\sqrt{x-1}$ とおくと、$y\ge0$ である
これを $x$ について解くと
$y=\sqrt{x-1}$
$y^2=x-1$
$x=y^2+1\ (y\ge0)$
よって逆関数は $x$ と $y$ を入れ換えて
$y=x^2+1\ (x\ge0)$
よって $f^{-1}(x)=x^2+1\ (x\ge0)$
$(f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(f(x))$
$=(\sqrt{x-1})^2+1$
$=x-1+1$
$=x$
（左に書き足し）$f(x)\ge0$ は $f^{-1}(x)$ の定義域に入るので合成できる。よって $(f^{-1}\circ f)(x)=x$ は成り立つ

どこがまずいか

**逆関数の出し方と「合成できる理由」はちゃんと書けてる。足りないのは「どの $x$ で $x$ に等しいのか」の範囲だけ。小さい穴だけど、「示せ」の問題では範囲の書きもれは減点の対象になる。**

• どの行か：$(f^{-1}\circ f)(x)=(\sqrt{x-1})^2+1=x-1+1=x$ の計算と、最後の「$(f^{-1}\circ f)(x)=x$ は成り立つ」。どちらにも「$x\ge1$ において」が無い。
• なぜつながらないか：$(\sqrt{x-1})^2=x-1$ が言えるのは $\sqrt{x-1}$ が実数のとき、つまり $x\ge1$ のときだけ。$f^{-1}\circ f$ の定義域も、最初に $f$ に入れる所なので $f$ と同じ $x\ge1$。範囲を書かずに「$=x$」で終えると、「すべての実数 $x$ で $x$ に等しい」と言ったことになる。
• 何がまぎれこむか：$x=-3$ を考えると、$f(-3)=\sqrt{-4}$ は実数にならず、$(f^{-1}\circ f)(-3)$ はそもそも無い。答案の書き方のままだと「$(f^{-1}\circ f)(-3)=-3$」まで言ったことになってしまう。
• 逆向きと比べると範囲の大事さがわかる：$f^{-1}(x)=x^2+1$ の「$(x\ge0)$」を忘れてすべての $x$ に使うと、$f(f^{-1}(x))=\sqrt{(x^2+1)-1}=\sqrt{x^2}=|x|$ で、$x=-2$ なら $2$ になり $x$ と一致しない。$x$ に戻るのは $x\ge0$（$f^{-1}$ の定義域）だから。合成の等式は、いつも「どの範囲で」とセットで言う。
• 書き足した「$f(x)\ge0$ は $f^{-1}$ の定義域に入るので合成できる」は、問題7の質問（$f$ の値域が $g$ の定義域に入っていれば合成できる）と同じ考え方で、正しく書けている。

こう書く

$f(x)=\sqrt{x-1}$ の定義域は $x\ge1$、値域は $y\ge0$ である。
$y=\sqrt{x-1}$ とおくと $y\ge0$ で、両辺を2乗して $y^2=x-1$、すなわち $x=y^2+1\ (y\ge0)$。
$x$ と $y$ を入れ換えて

$f$ の値域 $y\ge0$ は $f^{-1}$ の定義域 $x\ge0$ に含まれるので、$f^{-1}\circ f$ は $f$ の定義域 $x\ge1$ 全体で定まる。
$x\ge1$ のとき $\sqrt{x-1}\ge0$ で $(\sqrt{x-1})^2=x-1$ なので

よって、$f^{-1}\circ f$ の定義域 $x\ge1$ において $(f^{-1}\circ f)(x)=x$ が成り立つ。（終）

問題

次の方程式、不等式を解け。
(1) $\sqrt{3-2x}=-\dfrac12x+\dfrac32$
(2) $\sqrt{3-2x}\ge-\dfrac12x+\dfrac32$
(3) $\sqrt{3x+4}<\dfrac12x+2$
(4) $\sqrt{1-2x}\ge-x+1$

（見たのは (3)(4)。(1) は2乗して出した $x=-3,\ 1$ をもとの式に入れて確かめてあり、(2) はその交点を使っているので穴なし）

書いたもの

(3) $\sqrt{3x+4}<\dfrac12x+2$
$3x+4=\left(\dfrac12x+2\right)^2$
$3x+4=\dfrac14x^2+2x+4$
$\dfrac14x^2-x=0$
$\dfrac14x(x-4)=0$
$x=0,\ 4$
$y=\sqrt{3x+4}$、$y^2=3x+4$、$x=\dfrac13y^2-\dfrac43$
（グラフ：$x=-\frac43$ から始まる放物線の上半分と直線 $y=\frac12x+2$）
答　$-\dfrac43\le x<0,\ 4<x$

(4) $\sqrt{1-2x}\ge-x+1$
$1-2x=(-x+1)^2$
$1-2x=x^2-2x+1$
$x^2=0$
$x=0$
$y=\sqrt{1-2x}$、$y^2=1-2x$、$x=-\dfrac12y^2+\dfrac12$
（グラフ：曲線と直線が $x=0$ の1点でふれている絵）
答　$x=0$

どこがまずいか

**答えは2つとも合ってる。でも記述だと、(3) は「2乗してよい理由（または交点の確かめ）」、(4) は「$x=0$ 以外で成り立たない理由」が無いので削られる。**

**(3) 2乗して出した $x=0,\ 4$ を確かめていない**

• どの行か：1行目から2行目。$\sqrt{3x+4}=\frac12x+2$ を2乗して $3x+4=\left(\frac12x+2\right)^2$ にしている。(1) では出した解をもとの式に入れて確かめているのに、(3) ではやっていない。
• なぜつながらないか：2乗は同値な変形ではない。$A=B^2$ には $\sqrt A=B$ の解だけでなく $\sqrt A=-B$ の解もまざる。だから $x=0,\ 4$ が本当に曲線と直線の交点かは、2乗した式からは言えない。交点がまちがっていれば、そのあとのグラフの範囲も全部くずれる。
• 何がまぎれこむか：右辺を $\frac12x-2$ に変えただけの $\sqrt{3x+4}<\frac12x-2$ で同じことをすると、2乗して $\frac14x^2-5x=0$、$x=0,\ 20$。でも $x=0$ は 左辺 $2$・右辺 $-2$ で交点ではない（右辺が負なのに2乗で正になって紛れた）。これを交点だと思ってグラフを読むと「$-\frac43\le x<0,\ 20<x$」と書いてしまうが、$x=-1$ では 左辺 $1$・右辺 $-2.5$ で成り立たない。正しい答えは $x>20$ だけ。
• 今回は $x\ge-\frac43$ で右辺 $\frac12x+2\ge\frac43>0$ なので、たまたま紛れる解が無かった。確かめると $x=0$：左辺 $2$・右辺 $2$、$x=4$：左辺 $4$・右辺 $4$ でどちらも交点。この「右辺が正」か「代入の確かめ」のどちらかを1行書けば、理由のある答案になる。

(4) 曲線と直線が「接している」ことを絵だけで決めている

• どの行か：$x^2=0$、$x=0$ のあと、グラフをかいて答え $x=0$ を書いている。$x=0$ が重解であること、定義域 $x\le\frac12$ のほかの所では成り立たないことを、式で一度も言っていない。
• なぜつながらないか：答え「$x=0$ だけ」を言うには「$x\neq0$ ではいつも 曲線 < 直線」が要る。絵では、ぎりぎり接しているのか、すぐ横で2回交わっているのか、ぎりぎり離れているのかは区別できない。
• 何がまぎれこむか：直線を少しずらすと、絵はほとんど同じなのに答えが変わる。

- $\sqrt{1-2x}\ge-x+0.99$：交点が $x\approx-0.151,\ 0.131$ の2つで、答えは $-0.151\cdots\le x\le0.131\cdots$ の区間になる。
- $\sqrt{1-2x}\ge-x+1.01$：交わらず、解なし。
- 3つの絵は見分けられない。分けているのは $x^2=0$（重解）か、2乗した不等式 $x^2\le0$ のほう。

• 確かめ：左辺−右辺 を $x=-3,\ -0.1,\ 0,\ 0.1,\ 0.5$ で計算すると $-1.354,\ -0.005,\ 0,\ -0.006,\ -0.5$。$x=0$ だけ $0$ で、ほかは負。
• (4) は「解なし」とも「$x\le\frac12$」とも書きやすい問題。式で $x^2\le0$ まで持っていけば、迷う所がなくなる。

こう書く

(3) 根号の中が $0$ 以上なので $3x+4\ge0$、すなわち $x\ge-\dfrac43$。
このとき $\dfrac12x+2\ge\dfrac12\cdot\left(-\dfrac43\right)+2=\dfrac43>0$ なので、両辺とも $0$ 以上。両辺を2乗した不等式と同値になる。

$x\ge-\dfrac43$ とあわせて
答　$-\dfrac43\le x<0,\ 4<x$

(4) 根号の中が $0$ 以上なので $1-2x\ge0$、すなわち $x\le\dfrac12$。
このとき $-x+1\ge-\dfrac12+1=\dfrac12>0$ なので、両辺とも $0$ 以上。両辺を2乗した不等式と同値になる。

$x=0$ は $x\le\dfrac12$ を満たす。
答　$x=0$

グラフで解くなら：(3) は「$x=0$ のとき両辺 $2$、$x=4$ のとき両辺 $4$ なので、$x=0,\ 4$ はどちらも交点」と確かめてから範囲を読む。(4) は「$x=0$ は重解なので直線は曲線に点 $(0,1)$ で接し、ほかに共有点はない。$x\le\frac12$ の $x\neq0$ では曲線が直線より下（例 $x=\frac12$ で $0<\frac12$）」と書いてから答え。

問題

次の方程式、不等式を解け。
(1) $\dfrac{3x-6}{x-1}=-x+6$
(2) $\dfrac{3x-6}{x-1}\ge-x+6$
(3) $\dfrac{-x}{x+2}\le-x+1$
(4) $\dfrac{x-3}{x-2}>x+1$

（見たのは (4)。(1)〜(3) は穴なし）

書いたもの

(4) $\dfrac{x-3}{x-2}>x+1$
$\dfrac{x-3}{x-2}=x+1$ として
$x-3=(x+1)(x-2)$
$x-3=x^2-x-2$
$x^2-2x+1=0$
$(x-1)^2=0$　$x=1$
$\dfrac{x-3}{x-2}=\dfrac{(x-2)-1}{x-2}=\dfrac{-1}{x-2}+1$
（グラフ：漸近線 $x=2,\ y=1$ の双曲線と直線 $y=x+1$。$x=1$ のところで直線が曲線にふれている絵）
答　$x<1,\ 1<x<2$

どこがまずいか

**答えは合ってる。でも記述だと、$x=1$ を除く理由と「$x<2$ ではいつも曲線が上」の理由が答案に無いので削られる。**

• どの行か：$(x-1)^2=0$ で $x=1$ を出したあと、すぐグラフをかいて答えを読んでいる。$x=1$ が重解であること、つまり直線が曲線に接していて、そこ以外では交わらないことを1回も書いていない。
• なぜつながらないか：グラフの絵は「接している」のか「すぐ近くで2回交わっている」のか「ぎりぎり離れている」のかを区別できない。答え $x<1,\ 1<x<2$ を出すには「交わるのは $x=1$ の1点だけで、そこでは等号」という事実が要る。それを決めているのは絵ではなく $(x-1)^2=0$ の重解のほう。答案ではそれが「$x=1$」とだけ書かれていて、接点だとは読めない。
• 何がまぎれこむか：直線を少しだけずらすと、絵はほとんど同じなのに答えが変わる。

- $\dfrac{x-3}{x-2}>x+1.01$：交点の式は $x^2-1.99x+0.98=0$（判別式 $0.0401>0$）で、交点が $x\approx0.895,\ 1.095$ の2つ。答えは $x<0.895\cdots,\ 1.095\cdots<x<2$ で、あいだが抜ける。
- $\dfrac{x-3}{x-2}>x+0.99$：判別式 $-0.0399<0$ で交わらない。答えは $x<2$ で、$x=1$ も入る。
- 3つとも手でかいた絵では見分けられない。分けているのは判別式（重解かどうか）だけ。

• もう1つ：$x=1$ を答えから除く理由も書いていない。$x=1$ では両辺とも $2$ で等しく、不等号が $>$（等号なし）なので入らない。この1行が無いと、採点者には「たまたま外れた」のか「わかって外した」のか読めない。
• 確かめ：左辺−右辺 を $x=0,\ 0.9,\ 1,\ 1.1,\ 1.9$ で計算すると $0.5,\ 0.009,\ 0,\ 0.011,\ 8.1$。$x=1$ だけ $0$ で、ほかは正。$x=2.5$ では $-4.5$ で負。答えのとおり。

東大の記述では、グラフは見通しに使うだけで、範囲は式で決めてしまうのがいちばん安全。

こう書く

(4) $x\neq2$ である。

よって与えられた不等式は

$(x-1)^2\ge0$ で、等号は $x=1$ のときだけ。
$x=1$ のとき左辺は $0$ になり成り立たない。
$x\neq1$ のとき $(x-1)^2>0$ なので、$x-2<0$ すなわち $x<2$ と同じ。
答　$x<1,\ 1<x<2$

グラフで書くなら：「$\dfrac{x-3}{x-2}=x+1$ を整理すると $(x-1)^2=0$ で $x=1$ は重解。よって直線 $y=x+1$ は曲線 $y=-\dfrac{1}{x-2}+1$ に点 $(1,2)$ で接し、ほかに共有点はない。$x<2$ では $x=1$ を除いて曲線が直線より上にあり（例 $x=0$ で $\frac32>1$）、$x>2$ では曲線は $y<1$、直線は $y>3$ なので曲線が下。$x=1$ では等号なので含まない。」と書いてから答え。

問題

次の関数の逆関数を求めよ。また、そのグラフをかけ。
(1) $y=\sqrt{-x}$
(2) $y=\dfrac12x^2\ (2\le x\le4)$

書いたもの

(1) は値域 $y\ge0$ を書いてから2乗し、$x=-y^2$、答え $y=-x^2\ (x\ge0)$。グラフも合っている。ここは大丈夫。

(2)
$y=\dfrac12x^2\quad(2\le x\le4)$
値域　$2\le y\le8$
$x=\sqrt{2y}\quad(2\le y\le8)$
$y=\sqrt{2x}\quad(2\le x\le8)$
（グラフ：点線 $y=x$ と、点 $(2,2)$ から右上へ伸びる実線。もう一方の端点に「$(4,8)$」と書いてある）

どこがまずいか

**式の答え $y=\sqrt{2x}\ (2\le x\le8)$ は合ってる。でも穴が2つある。**

**穴1：$x=\sqrt{2y}$ の行**
$y=\dfrac12x^2$ から $x$ について解くと $x^2=2y$、$x=\pm\sqrt{2y}$ の2つが出る。$+$ を取る理由は「もとの定義域が $2\le x\le4$ で $x>0$ だから」。答案では $x^2=2y$ の行も $\pm$ も飛ばしていきなり $x=\sqrt{2y}$ になっていて、なぜ $+$ なのかが書いていない。
もとの定義域が $-4\le x\le-2$ なら答えは $y=-\sqrt{2x}$ になる。符号を決めているのは定義域なので、その一言が無いと、答えの符号が合っていても理由のない行として減点される。

穴2：グラフの端点の座標
グラフのもう一方の端に「$(4,8)$」と書いてある（ノートの字からそう読めた）。$(4,8)$ はもとの関数 $y=\dfrac12x^2$ の端点（$x=4$ のとき $y=8$）で、逆関数のグラフの点ではない。
逆関数 $y=\sqrt{2x}$ は $x=8$ のとき $y=\sqrt{16}=4$ なので、端点は $(8,\ 4)$。逆関数のグラフはもとのグラフを $y=x$ で折り返したものなので、座標の $x$ と $y$ も入れかわる。$(2,2)$ は $y=x$ の上の点なので、入れかえても同じ。
「グラフをかけ」の問題では端点の座標が採点の対象になる。式が合っていてもここで削られる。

こう書く

(2) $y=\dfrac12x^2$ は $2\le x\le4$ で増加するので、値域は $2\le y\le8$。
$y=\dfrac12x^2$ より $x^2=2y$、$x=\pm\sqrt{2y}$。
$2\le x\le4$ より $x>0$ なので $x=\sqrt{2y}\quad(2\le y\le8)$
$x$ と $y$ を入れ換えて、逆関数は
答　$y=\sqrt{2x}\quad(2\le x\le8)$
グラフは、もとの $y=\dfrac12x^2\ (2\le x\le4)$ のグラフと直線 $y=x$ に関して対称な曲線で、端点は $(2,\ 2)$ と $(8,\ 4)$（両端とも含む）。上に凸で、$(2,2)$ から $(8,4)$ までゆるやかに増える。

問題

次の関数の逆関数を求めよ。
(1) $y=x^2\ (x\le0)$
(2) $y=x^2-2\ (x\ge0)$

書いたもの

(1)
$y=x^2\ (x\le0)$
この関数の値域は $y\ge0$
$y=x^2$ を $x$ について解くと
$x=-\sqrt y\quad(y\ge0)$
よって逆関数は $x$ と $y$ を入れ換えて
$y=-\sqrt x\quad(x\ge0)$

(2)
$y=x^2-2\ (x\ge0)$
この関数の値域は $y\ge-2$
$y=x^2-2$ を $x$ について解くと
$x=\sqrt{y+2}\quad(y\ge-2)$
よって逆関数は $x,\ y$ を入れ換えて
$y=\sqrt{x+2}\quad(x\ge-2)$

どこがまずいか

**答えは (1)(2) とも合ってる。でも「$x$ について解くと」の行で、$\pm$ のどちらを取ったかの理由が抜けていて、減点される。**

どの行か：(1) の $x=-\sqrt y$、(2) の $x=\sqrt{y+2}$。

なぜつながらないか：$y=x^2$ を $x$ について解くと、出てくるのは $x=\pm\sqrt y$ の2つ。そこから片方だけ残すには「もとの定義域が $x\le0$ だから」という理由が要る。(1) では $-$ を取っているので正しく選べているが、理由が書いていないので、読む人には「なぜ $+$ ではないのか」がわからない。(2) も $x^2=y+2$ から $x=\pm\sqrt{y+2}$ が出て、$x\ge0$ だから $+$。

何がまぎれこむか（例）：もとの定義域を見ずに解くと、(1) で $x=\sqrt y$ を取って逆関数を $y=\sqrt x$ と書いてしまう。たとえば $x=-2$ のとき $y=4$ なので、逆関数は $4$ を $-2$ に戻すはず。でも $\sqrt4=2$ で、$-2$ に戻らない。
また定義域が $-1\le x\le2$ のように $0$ をまたぐと、$y=x^2$ は1つの $y$ に $x$ が2つ対応する（$y=1$ に $x=\pm1$）ので、逆関数そのものが無い。$\pm$ をどちらに決めるかは、逆関数があるかどうかの芯の部分。

削られる理由：逆関数の問題で採点者が見るのは、まさにこの「$\pm$ を定義域で1つに決める」ところ。答えの符号が合っていても、理由が無いと「たまたま合った」と区別がつかない。

こう書く

(1) $y=x^2\ (x\le0)$ の値域は $y\ge0$。
$y=x^2$ より $x^2=y$、$x=\pm\sqrt y$。
$x\le0$ なので $x=-\sqrt y\quad(y\ge0)$
$x$ と $y$ を入れ換えて、逆関数は
答　$y=-\sqrt x\quad(x\ge0)$

(2) $y=x^2-2\ (x\ge0)$ の値域は $y\ge-2$。
$x^2=y+2$ より $x=\pm\sqrt{y+2}$。
$x\ge0$ なので $x=\sqrt{y+2}\quad(y\ge-2)$
$x$ と $y$ を入れ換えて、逆関数は
答　$y=\sqrt{x+2}\quad(x\ge-2)$

問題

次の方程式、不等式を解け。
(1) $\sqrt{x+1}=-x+1$
(2) $\sqrt{x+1}<-x+1$

書いたもの

(1) は2乗して $x=0,\ 3$ を出し、それぞれ①に代入して確かめて $x=0$。ここは大丈夫。

(2)
$\sqrt{x+1}<-x+1$
$x(x-3)>0$
$x<0,\ 3<x$
（グラフ：$y=\sqrt{x+1}$、直線 $y=-x+1$、点線で $y=-\sqrt{x+1}$）
$-1\le x<0$

どこがまずいか

**答え $-1\le x<0$ は合ってる。でも2行目の $x(x-3)>0$ で減点される。**

どの行か：(2) の2行目 $x(x-3)>0$。両辺を2乗して $x+1<(-x+1)^2$ とし、整理したもの。
なぜつながらないか：$A<B$ を2乗して $A^2<B^2$ にしてよいのは、$A,\ B$ がどちらも $0$ 以上のときだけ。左辺 $\sqrt{x+1}$ はいつも $0$ 以上だが、右辺 $-x+1$ は $x>1$ で負になる。そこで2乗すると、大小がひっくり返った値までまざる。
さらに、根号の中が $0$ 以上（$x\ge-1$）という条件も、この行には入っていない。

何がまぎれこむか（python で確かめた）：

• $x=5$：$x(x-3)=10>0$ なので3行目の「$3<x$」に入る。でももとの式は左辺 $\sqrt6\fallingdotseq2.4$、右辺 $-4$ で成り立たない
• $x=-2$：$x(x-3)=10>0$ なので「$x<0$」に入る。でも $\sqrt{-1}$ は作れない

3行目の $x<0,\ 3<x$ は、もとの不等式の答えではない。

削られる理由：最後の $-1\le x<0$ はグラフから読んでいて、2〜3行目の式とはつながっていない。採点者からは「条件なしに2乗して、まちがった範囲を出し、そのあと別の方法で答えだけ合わせた」と見える。式で解くなら2乗の条件を書く、グラフで解くなら式の行は書かない。どちらか1本にする。
（グラフの点線 $y=-\sqrt{x+1}$ を描いているので、2乗で何が混ざるかはわかっている。それを答案の文にすればいい）

こう書く

式で解く場合
(2) 根号の中が $0$ 以上なので $x\ge-1$ ……①
左辺 $\sqrt{x+1}\ge0$ なので、不等式が成り立つには右辺が正であることが必要：$-x+1>0$ より $x<1$ ……②
①②のもとでは両辺とも $0$ 以上なので、2乗しても同値で
$x+1<(-x+1)^2$
$x+1<x^2-2x+1$
$x^2-3x>0$
$x(x-3)>0$
$x<0,\ 3<x$ ……③
①②③をすべて満たす範囲を求めて
答　$-1\le x<0$

グラフで解く場合
(2) $y=\sqrt{x+1}$（定義域 $x\ge-1$）と $y=-x+1$ のグラフを考える。
(1) より、共有点は $x=0$ の1つで、その座標は $(0,\ 1)$。
$y=\sqrt{x+1}$ は増加、$y=-x+1$ は減少なので、$x<0$ では曲線が直線より下、$x>0$ では上にある。
定義域 $x\ge-1$ と合わせて
答　$-1\le x<0$

問題

次の方程式、不等式を解け。
(1) $\dfrac{3x}{x+2}=-x+2$
(2) $\dfrac{3x}{x+2}<-x+2$

書いたもの

(1)
$\dfrac{3x}{x+2}=-x+2$
$3x=-x^2+4$
$x^2+3x-4=0$
$(x+4)(x-1)=0$
$x=-4,\ 1$

(2)
$\dfrac{3x}{x+2}<-x+2$
$(x+4)(x-1)>0$
$x<-4,\ 1<x\quad x\neq-2$
（赤で自分のメモ：「$x+2$ の正負で場合分けが必要　グラフから導くことも可能」・(2) は斜線）

どこがまずいか

(1) は答えは合ってる。でも分母を払った行で減点される。(2) は答えがちがう（自分で気づいて斜線を引いている）。

(1) どの行か：2行目 $3x=-x^2+4$。両辺に $x+2$ を掛けている。
なぜつながらないか：もとの式は $x=-2$ では作れない（分母が $0$）。掛けたあとの $3x=-x^2+4$ は $x=-2$ も入れられる式なので、解が増えるかもしれない。「$x\neq-2$ のもとで掛ける」「出た解が $-2$ でない」の2つを書かないと、確かめていないと読まれる。
何がまぎれこむか（例）：$\dfrac{x^2}{x+2}=\dfrac{4}{x+2}$ を払うと $x^2=4$、$x=\pm2$。でも $x=-2$ は分母が $0$ で落ちて、答えは $x=2$ だけ。今回は出た解 $-4,\ 1$ がたまたま $-2$ でなかっただけ。
削られる理由：分母を払う変形は同値でない。条件を書かずに答えを出すと、答えが合っていても論理の抜けとして減点される。

(2) どの行か：2行目 $(x+4)(x-1)>0$。(1) と同じように $x+2$ を掛けて、不等号の向きをそのままにしている。
なぜつながらないか：不等式に掛けるとき、掛けるものが負なら不等号が逆になる。$x+2$ は $x>-2$ で正、$x<-2$ で負なので、向きが決まらない。メモのとおり場合分けが要る。
何がまぎれこむか（python で確かめた）：

• $x=2$：$(x+4)(x-1)=6>0$ なので答えに入る。でももとの式は左辺 $\frac{6}{4}=1.5$、右辺 $0$ で成り立たない
• $x=-1$：$(x+4)(x-1)=-6$ なので答えから落ちる。でももとの式は左辺 $-3$、右辺 $3$ で成り立つ

つまり $1<x$ は余計にまぎれこみ、$-2<x<1$ はまるごと落ちている。正しい答えは $x<-4,\ -2<x<1$。

こう書く

(1) $\dfrac{3x}{x+2}=-x+2$ ……① とおく。①の定義域は $x\neq-2$。
$x\neq-2$ のもとで、①の両辺に $x+2$ を掛けると
$3x=(-x+2)(x+2)=-x^2+4$
$x^2+3x-4=0$
$(x+4)(x-1)=0$
$x=-4,\ 1$
これらはどちらも $x\neq-2$ を満たすので、①の解である。
答　$x=-4,\ 1$

(2) 掛ける $x+2$ の符号で向きが変わるので、移項して1つの分数にし、符号を調べる。
$\dfrac{3x}{x+2}-(-x+2)<0$
$\dfrac{3x+(x-2)(x+2)}{x+2}<0$
$\dfrac{x^2+3x-4}{x+2}<0$
$\dfrac{(x+4)(x-1)}{x+2}<0$ ……②
分子・分母の符号を表にする（$x\neq-2$）。

• $x<-4$：$x+4<0,\ x-1<0,\ x+2<0$ で、左辺は負
• $-4<x<-2$：$x+4>0,\ x-1<0,\ x+2<0$ で、左辺は正
• $-2<x<1$：$x+4>0,\ x-1<0,\ x+2>0$ で、左辺は負
• $1<x$：3つとも正で、左辺は正

$x=-4,\ 1$ では左辺 $=0$ で②を満たさない。
答　$x<-4,\ -2<x<1$

（グラフで書くなら：$y=\dfrac{3x}{x+2}=-\dfrac{6}{x+2}+3$（漸近線 $x=-2,\ y=3$）と $y=-x+2$ の共有点の $x$ 座標は (1) より $-4,\ 1$。双曲線が直線より下にあるのは $x<-4,\ -2<x<1$。式の変形とグラフを1つの答案で混ぜない）

問題

次の2つの関数のグラフの共有点の座標を求めよ。
(1) $y=\dfrac{2x}{x-1},\ y=2x$
(2) $y=\dfrac{4x+1}{2x+3},\ y=2x-1$

書いたもの

(1)
$\dfrac{2x}{x-1}=2x$
$2x=2x(x-1)$
$2x=2x^2-2x$
$2x(x-2)=0$
$x=0,\ 2$
$y=2x$ に代入して　$x=0$ のとき $y=0$、$x=2$ のとき $y=4$
よって共有点の座標は $(0,0),\ (2,4)$

(2)
$\dfrac{4x+1}{2x+3}=2x-1$
$4x+1=(2x-1)(2x+3)$
$4x+1=4x^2+4x-3$
$4x^2-4=0$
$4(x+1)(x-1)=0$
$x=\pm1$
$y=2x-1$ に代入して　$x=1$ のとき $y=1$、$x=-1$ のとき $y=-3$
よって共有点の座標は $(1,1),\ (-1,-3)$

どこがまずいか

答えは (1)(2) とも合ってる。でも記述では、分母を払った行で減点される。

どの行か：(1) の2行目 $2x=2x(x-1)$ と、(2) の2行目 $4x+1=(2x-1)(2x+3)$。ここで両辺に $x-1$（(2) は $2x+3$）を掛けている。

なぜつながらないか：もとの式 $\dfrac{2x}{x-1}=2x$ は、$x=1$ では左辺が作れない（分母が $0$）。ところが掛けたあとの $2x=2x(x-1)$ は $x=1$ も入れられる式。つまり「掛けたあとの式の解」は「もとの式の解」より多いかもしれない。もとの式と同じになるのは「$x\neq1$ のもとで」だけ。
だから答案には、①最初に $x\neq1$ と書く、②出てきた解がそれを満たすと書く、の2つが要る。書いていないと「分母が $0$ になる解がまぎれていないか確かめていない」と読まれる。

何がまぎれこむか（例）：$\dfrac{x^2}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}$ を同じように払うと $x^2=1$、$x=\pm1$。でも $x=1$ は分母が $0$ でもとの式に入れられないので、本当の答えは $x=-1$ だけ。払ったまま答えると $x=\pm1$ と書いてしまう。今回たまたま (1) の $0,2$ は $1$ でなく、(2) の $\pm1$ は $-\frac32$ でなかっただけ。

削られる理由：採点は「答えが合っているか」ではなく「その行からその行が言えるか」を見る。分母を払う変形は同値ではないので、条件を書かずに使うと、答えが合っていても論理の抜けとして減点される。
無理方程式の練習11(1) では2乗したあとに代入して確かめていた。分数の式も同じ「変形で増えたかもしれない解を落とす」話。

こう書く

(1) $\dfrac{2x}{x-1}=2x$ ……① とおく。①の定義域は $x\neq1$。
$x\neq1$ のもとで、①の両辺に $x-1$ を掛けると
$2x=2x(x-1)$
$2x^2-4x=0$
$2x(x-2)=0$
$x=0,\ 2$
これらはどちらも $x\neq1$ を満たすので、①の解である。
$y=2x$ に代入して、$x=0$ のとき $y=0$、$x=2$ のとき $y=4$。
よって共有点の座標は $(0,\ 0),\ (2,\ 4)$

(2) $\dfrac{4x+1}{2x+3}=2x-1$ ……② とおく。②の定義域は $x\neq-\dfrac32$。
$x\neq-\dfrac32$ のもとで、②の両辺に $2x+3$ を掛けると
$4x+1=(2x-1)(2x+3)=4x^2+4x-3$
$4x^2=4$
$x=\pm1$
これらはどちらも $x\neq-\dfrac32$ を満たすので、②の解である。
$y=2x-1$ に代入して、$x=1$ のとき $y=1$、$x=-1$ のとき $y=-3$。
よって共有点の座標は $(1,\ 1),\ (-1,\ -3)$