問題

$y=\sqrt{x+1}$ のグラフと $y=x+k$ のグラフが異なる2つの共有点をもつような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

書いたもの

$y=\sqrt{x+1}\ (y\ge0)$　$y=x+k$
$y^2=x+1$
$x=-y^2+1$ …①　$x=y-k$ …②
①②を連立して $-y^2+1=y-k$、$y^2+y-k-1=0$ …③
「①②が異なる2つの共有点をもつとき ③の判別式を $D$ とすると $D>0$」
よって $D=1^2-4(-k-1)=4k+5>0$、$k>-\dfrac54$（ピンクの線で消している）
ピンクの書きこみ：「yについての2次方程式で判別式作るのなんでなの？／これ何してることになってる？／あと無理関数って図示しないと解けなくて」

質問

「yについての2次方程式で判別式作るのなんでなの？」
「これ何してることになってる？」
「あと無理関数って図示しないと解けなくて」

答え

共有点の $y$ 座標を未知数にした方程式を作っている。$y$ で立てると √ が消えて、しかも「共有点1つ ↔ 解 $y$ 1つ」がきれいに対応するから。判別式は「解 $y$ が2つあるか」を見ているだけで、それが共有点2つになるには $y\ge0$ も要る。

① なんで $y$ の2次方程式にするのか
曲線 $y=\sqrt{x+1}$ の上の点は、$y$ を決めると $x=y^2-1$ でただ1つに決まる（ただし $y\ge0$）。だから曲線の点は「$y\ (\ge0)$ 1つ」で名前が付けられる。
その点が直線 $y=x+k$ にも乗る条件は $y=(y^2-1)+k$、つまり

これの解 $y$ 1つが、共有点 $(y^2-1,\ y)$ 1つとちょうど対応する。
$x$ で立てると $\sqrt{x+1}=x+k$ を2乗することになり、2乗で $-\sqrt{x+1}=x+k$ の解（ニセの解）がまぎれこむ。それを落とす条件 $x+k\ge0$ を別に見ないといけない。$y$ で立てると √ がはじめから無いので、残る条件は $y\ge0$ だけになる。どちらでも解けるけど、$y$ のほうが条件が1つで済む。

② これは何をしていることになるか
$y^2-y+k-1=0$ の解の個数 ＝ 共有点の個数、ではない。正しくは
「$y\ge0$ をみたす解の個数」＝ 共有点の個数。
判別式 $D>0$ は「実数の解が2つある」までしか言わない。2つのうち1つが負なら、その $y$ は $\sqrt{\ }$ の値になれないので点にならない（それは $y=-\sqrt{x+1}$ 側、つまり放物線 $y^2=x+1$ の下半分との交点）。
だから要るのは「異なる2つの解がどちらも $y\ge0$」で、$f(y)=y^2-y+k-1$ とおくと

• $D=1-4(k-1)=5-4k>0$ より $k<\dfrac54$
• 軸 $y=\dfrac12>0$
• $f(0)=k-1\ge0$ より $k\ge1$

答　$1\le k<\dfrac54$（解説の答と同じ）。

確かめ：$k=1.1$ では $y^2-y+0.1=0$ の解は $y\approx0.887,\ 0.113$。どちらも正で、点は $(-0.21,\ 0.89)$ と $(-0.99,\ 0.11)$ の2つ。$k=0.5$ では解が $y\approx1.366,\ -0.366$ で、正は1つ→点は1つ。

③ 無理関数は図示しないと解けないか
解ける。いまの ② がまさにそれで、グラフを描かずに「$y\ge0$ の2次方程式が異なる2解をもつ条件」に置きかえた。$y=\sqrt{\ }$ の形は、$y$ を未知数にすれば「2乗の式＋$y\ge0$」になる。これが無理関数を式で処理するときの基本。

もう1つの手は $k$ を分ける（定数分離）：$k=-y^2+y+1\ (y\ge0)$。左の $k$ は横の直線、右は $y$ の放物線。$y\ge0$ の部分と横線が2回交わる $k$ を見る。頂点 $\left(\frac12,\ \frac54\right)$、$y=0$ で $1$ なので $1\le k<\frac54$。無理関数のグラフは使わず、ふつうの放物線だけで済む。

グラフが効くのは「直線を動かして何回交わるか」を一目で見たいとき。端点 $(-1,0)$ を通る瞬間（$k=1$）と接する瞬間（$k=\frac54$）が境目だとすぐ分かる。ただ、記述の答案では「接する」「端点を通る」の境目を結局式で出すので、グラフは見通し、式が答案、と分けるとよい。
グラフで止まりやすいのは「端点を含むか」（$k=1$ は端点と、もう1点 $(0,1)$ の2点で、含む）。式なら $f(0)\ge0$ の等号でそこが自動で入る。

図：左は直線を動かしたところ（青が $k=1$ で端点と $(0,1)$ の2点・灰色の点線が接する $k=\frac54$。その間の $k$ で2点）。右は定数分離（$y\ge0$ の部分の放物線と横線 $k$。点線の $k=1$ から $k=\frac54$ の手前まで2回交わる）。