問題

次の無限級数の収束、発散を調べよ。
(1) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n$
(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n-1}{3n}$

書いたもの

(1) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n$ の第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とすると
$n\ge2$ ならば $S_n=S_{n-1}+a_n$
よって $a_n=S_n-S_{n-1}$
「$|-1|=1$ なので $a_n$ は収束しない」
よって $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n$ は発散する　（丸）

(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n-1}{3n}$ の第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とすると
$n\ge2$ ならば $S_n=S_{n-1}+a_n$
$a_n=S_n-S_{n-1}$
$a_n=\dfrac23-\dfrac1{3n}$
$a_n$ は $\dfrac23$ に収束する
$a_n$ が $0$ に収束しないので $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n-1}{3n}$ は発散する　（丸）

どこがまずいか

答え（どちらも発散）は合ってる。でも記述だと (1) は「$a_n$ が収束しない理由」がずれていて削られる。(1)(2) とも $S_n$ の行が途中で止まっていて、何を使って「発散」と言ったのかが書かれていない。

(1) 「$|-1|=1$ なので」は $a_n$ の理由になっていない

• どの行か：4行目「$|-1|=1$ なので $a_n$ は収束しない」。
• なぜつながらないか：$|r|=1$ で決まるのは等比数列 $(-1)^{n-1}$ のふるまい（$1,-1,1,-1,\cdots$ と振動）。でも $a_n=(-1)^{n-1}n$ には $n$ がかかっていて、等比数列ではない。$(-1)^{n-1}$ が振動することだけでは、$n$ をかけたあとの $a_n$ がどうなるかは決まらない。
• 何がまぎれこむか：同じ理由を $b_n=\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$ に使うと「$|-1|=1$ なので $b_n$ は収束しない」となるが、$|b_n|=\dfrac1n\to0$ なので $b_n$ は $0$ に収束する。しかも $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$ は収束する（和は $\log 2=0.693\cdots$。20万項まで足すと $0.69314\cdots$）。つまりこの書き方は、発散しない級数にも「発散」と言ってしまう。
• (1) で効いているのは $|a_n|=n\to\infty$ のほう。$a_n$ は $1,-2,3,-4,\cdots$ と大きさが限りなく大きくなるので、$0$ に収束しない。これを書けば理由になる。

(1)(2) $a_n=S_n-S_{n-1}$ を書いたまま使っていない

• どの行か：(1)(2) とも2〜3行目の「$n\ge2$ ならば $S_n=S_{n-1}+a_n$、$a_n=S_n-S_{n-1}$」。このあと $S_n$ は一度も出てこない。
• なぜつながらないか：この行は教科書の定理「$\sum a_n$ が収束 $\Rightarrow$ $\lim a_n=0$」の証明の書き出し。続きは「収束すると仮定すると $S_n\to S$、$S_{n-1}\to S$ なので $a_n\to S-S=0$。これに反する」で、ここまで書いてはじめて「$a_n\to0$ でない $\Rightarrow$ 発散」が言える。途中で止めると、読む人には何のための行か分からず、最後の「発散する」が何から出たのかも書かれていないことになる。
• どちらかに決める：①定理を名前で使う（「$a_n$ が $0$ に収束しないから、$\sum a_n$ は発散する」の1行。教科書の定理なのでこれで十分）、②自分で証明する（背理法を最後まで）。半分だけ書くのがいちばん損。
• (2) はさらに、$a_n=\dfrac23-\dfrac1{3n}$ を $S_n-S_{n-1}$ から出したように見える並びになっている。実際は第 $n$ 項 $\dfrac{2n-1}{3n}$ を変形しただけなので、$a_n=S_n-S_{n-1}$ の行とはつながっていない。

(1) $a_n$ が何かを書いていない

• $a_n$ という文字を定めずに使っている。「第 $n$ 項を $a_n$ とすると $a_n=(-1)^{n-1}n$」と1行置く。

こう書く

（定理を使う書き方）
(1) 第 $n$ 項を $a_n$ とすると $a_n=(-1)^{n-1}n$。
$|a_n|=n\to\infty\ (n\to\infty)$ なので、数列 $\{a_n\}$ は $0$ に収束しない。
数列 $\{a_n\}$ が $0$ に収束しないとき、無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ は発散する。
答　発散する

(2) 第 $n$ 項を $a_n$ とすると

$\dfrac23\neq0$ なので、数列 $\{a_n\}$ は $0$ に収束しない。よって $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ は発散する。
答　発散する

（$S_n$ を使って自分で証明する書き方・(2) の場合）
部分和を $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ とする。
無限級数が収束すると仮定し、その和を $S$ とすると $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=S$、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{n-1}=S$。
$n\ge2$ のとき $a_n=S_n-S_{n-1}$ なので

ところが $a_n=\dfrac23-\dfrac1{3n}\to\dfrac23\neq0$ で、これに反する。
よって $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n-1}{3n}$ は発散する。