問題

次の方程式、不等式を解け。
(1) $\dfrac{3x}{x+2}=-x+2$
(2) $\dfrac{3x}{x+2}<-x+2$

書いたもの

(1)
$\dfrac{3x}{x+2}=-x+2$
$3x=-x^2+4$
$x^2+3x-4=0$
$(x+4)(x-1)=0$
$x=-4,\ 1$

(2)
$\dfrac{3x}{x+2}<-x+2$
$(x+4)(x-1)>0$
$x<-4,\ 1<x\quad x\neq-2$
（赤で自分のメモ：「$x+2$ の正負で場合分けが必要　グラフから導くことも可能」・(2) は斜線）

どこがまずいか

(1) は答えは合ってる。でも分母を払った行で減点される。(2) は答えがちがう（自分で気づいて斜線を引いている）。

(1) どの行か：2行目 $3x=-x^2+4$。両辺に $x+2$ を掛けている。
なぜつながらないか：もとの式は $x=-2$ では作れない（分母が $0$）。掛けたあとの $3x=-x^2+4$ は $x=-2$ も入れられる式なので、解が増えるかもしれない。「$x\neq-2$ のもとで掛ける」「出た解が $-2$ でない」の2つを書かないと、確かめていないと読まれる。
何がまぎれこむか（例）：$\dfrac{x^2}{x+2}=\dfrac{4}{x+2}$ を払うと $x^2=4$、$x=\pm2$。でも $x=-2$ は分母が $0$ で落ちて、答えは $x=2$ だけ。今回は出た解 $-4,\ 1$ がたまたま $-2$ でなかっただけ。
削られる理由：分母を払う変形は同値でない。条件を書かずに答えを出すと、答えが合っていても論理の抜けとして減点される。

(2) どの行か：2行目 $(x+4)(x-1)>0$。(1) と同じように $x+2$ を掛けて、不等号の向きをそのままにしている。
なぜつながらないか：不等式に掛けるとき、掛けるものが負なら不等号が逆になる。$x+2$ は $x>-2$ で正、$x<-2$ で負なので、向きが決まらない。メモのとおり場合分けが要る。
何がまぎれこむか（python で確かめた）：

• $x=2$：$(x+4)(x-1)=6>0$ なので答えに入る。でももとの式は左辺 $\frac{6}{4}=1.5$、右辺 $0$ で成り立たない
• $x=-1$：$(x+4)(x-1)=-6$ なので答えから落ちる。でももとの式は左辺 $-3$、右辺 $3$ で成り立つ

つまり $1<x$ は余計にまぎれこみ、$-2<x<1$ はまるごと落ちている。正しい答えは $x<-4,\ -2<x<1$。

こう書く

(1) $\dfrac{3x}{x+2}=-x+2$ ……① とおく。①の定義域は $x\neq-2$。
$x\neq-2$ のもとで、①の両辺に $x+2$ を掛けると
$3x=(-x+2)(x+2)=-x^2+4$
$x^2+3x-4=0$
$(x+4)(x-1)=0$
$x=-4,\ 1$
これらはどちらも $x\neq-2$ を満たすので、①の解である。
答　$x=-4,\ 1$

(2) 掛ける $x+2$ の符号で向きが変わるので、移項して1つの分数にし、符号を調べる。
$\dfrac{3x}{x+2}-(-x+2)<0$
$\dfrac{3x+(x-2)(x+2)}{x+2}<0$
$\dfrac{x^2+3x-4}{x+2}<0$
$\dfrac{(x+4)(x-1)}{x+2}<0$ ……②
分子・分母の符号を表にする（$x\neq-2$）。

• $x<-4$：$x+4<0,\ x-1<0,\ x+2<0$ で、左辺は負
• $-4<x<-2$：$x+4>0,\ x-1<0,\ x+2<0$ で、左辺は正
• $-2<x<1$：$x+4>0,\ x-1<0,\ x+2>0$ で、左辺は負
• $1<x$：3つとも正で、左辺は正

$x=-4,\ 1$ では左辺 $=0$ で②を満たさない。
答　$x<-4,\ -2<x<1$

（グラフで書くなら：$y=\dfrac{3x}{x+2}=-\dfrac{6}{x+2}+3$（漸近線 $x=-2,\ y=3$）と $y=-x+2$ の共有点の $x$ 座標は (1) より $-4,\ 1$。双曲線が直線より下にあるのは $x<-4,\ -2<x<1$。式の変形とグラフを1つの答案で混ぜない）