問題

次の方程式、不等式を解け。
(1) $\sqrt{x+1}=-x+1$
(2) $\sqrt{x+1}<-x+1$

書いたもの

(1) は2乗して $x=0,\ 3$ を出し、それぞれ①に代入して確かめて $x=0$。ここは大丈夫。

(2)
$\sqrt{x+1}<-x+1$
$x(x-3)>0$
$x<0,\ 3<x$
（グラフ：$y=\sqrt{x+1}$、直線 $y=-x+1$、点線で $y=-\sqrt{x+1}$）
$-1\le x<0$

どこがまずいか

答え $-1\le x<0$ は合ってる。でも2行目の $x(x-3)>0$ で減点される。

どの行か：(2) の2行目 $x(x-3)>0$。両辺を2乗して $x+1<(-x+1)^2$ とし、整理したもの。
なぜつながらないか：$A<B$ を2乗して $A^2<B^2$ にしてよいのは、$A,\ B$ がどちらも $0$ 以上のときだけ。左辺 $\sqrt{x+1}$ はいつも $0$ 以上だが、右辺 $-x+1$ は $x>1$ で負になる。そこで2乗すると、大小がひっくり返った値までまざる。
さらに、根号の中が $0$ 以上（$x\ge-1$）という条件も、この行には入っていない。

何がまぎれこむか（python で確かめた）：

• $x=5$：$x(x-3)=10>0$ なので3行目の「$3<x$」に入る。でももとの式は左辺 $\sqrt6\fallingdotseq2.4$、右辺 $-4$ で成り立たない
• $x=-2$：$x(x-3)=10>0$ なので「$x<0$」に入る。でも $\sqrt{-1}$ は作れない

3行目の $x<0,\ 3<x$ は、もとの不等式の答えではない。

削られる理由：最後の $-1\le x<0$ はグラフから読んでいて、2〜3行目の式とはつながっていない。採点者からは「条件なしに2乗して、まちがった範囲を出し、そのあと別の方法で答えだけ合わせた」と見える。式で解くなら2乗の条件を書く、グラフで解くなら式の行は書かない。どちらか1本にする。
（グラフの点線 $y=-\sqrt{x+1}$ を描いているので、2乗で何が混ざるかはわかっている。それを答案の文にすればいい）

こう書く

式で解く場合
(2) 根号の中が $0$ 以上なので $x\ge-1$ ……①
左辺 $\sqrt{x+1}\ge0$ なので、不等式が成り立つには右辺が正であることが必要：$-x+1>0$ より $x<1$ ……②
①②のもとでは両辺とも $0$ 以上なので、2乗しても同値で
$x+1<(-x+1)^2$
$x+1<x^2-2x+1$
$x^2-3x>0$
$x(x-3)>0$
$x<0,\ 3<x$ ……③
①②③をすべて満たす範囲を求めて
答　$-1\le x<0$

グラフで解く場合
(2) $y=\sqrt{x+1}$（定義域 $x\ge-1$）と $y=-x+1$ のグラフを考える。
(1) より、共有点は $x=0$ の1つで、その座標は $(0,\ 1)$。
$y=\sqrt{x+1}$ は増加、$y=-x+1$ は減少なので、$x<0$ では曲線が直線より下、$x>0$ では上にある。
定義域 $x\ge-1$ と合わせて
答　$-1\le x<0$