問題

次の関数の逆関数を求めよ。
(1) $y=x^2\ (x\le0)$
(2) $y=x^2-2\ (x\ge0)$

書いたもの

(1)
$y=x^2\ (x\le0)$
この関数の値域は $y\ge0$
$y=x^2$ を $x$ について解くと
$x=-\sqrt y\quad(y\ge0)$
よって逆関数は $x$ と $y$ を入れ換えて
$y=-\sqrt x\quad(x\ge0)$

(2)
$y=x^2-2\ (x\ge0)$
この関数の値域は $y\ge-2$
$y=x^2-2$ を $x$ について解くと
$x=\sqrt{y+2}\quad(y\ge-2)$
よって逆関数は $x,\ y$ を入れ換えて
$y=\sqrt{x+2}\quad(x\ge-2)$

どこがまずいか

答えは (1)(2) とも合ってる。でも「$x$ について解くと」の行で、$\pm$ のどちらを取ったかの理由が抜けていて、減点される。

どの行か：(1) の $x=-\sqrt y$、(2) の $x=\sqrt{y+2}$。

なぜつながらないか：$y=x^2$ を $x$ について解くと、出てくるのは $x=\pm\sqrt y$ の2つ。そこから片方だけ残すには「もとの定義域が $x\le0$ だから」という理由が要る。(1) では $-$ を取っているので正しく選べているが、理由が書いていないので、読む人には「なぜ $+$ ではないのか」がわからない。(2) も $x^2=y+2$ から $x=\pm\sqrt{y+2}$ が出て、$x\ge0$ だから $+$。

何がまぎれこむか（例）：もとの定義域を見ずに解くと、(1) で $x=\sqrt y$ を取って逆関数を $y=\sqrt x$ と書いてしまう。たとえば $x=-2$ のとき $y=4$ なので、逆関数は $4$ を $-2$ に戻すはず。でも $\sqrt4=2$ で、$-2$ に戻らない。
また定義域が $-1\le x\le2$ のように $0$ をまたぐと、$y=x^2$ は1つの $y$ に $x$ が2つ対応する（$y=1$ に $x=\pm1$）ので、逆関数そのものが無い。$\pm$ をどちらに決めるかは、逆関数があるかどうかの芯の部分。

削られる理由：逆関数の問題で採点者が見るのは、まさにこの「$\pm$ を定義域で1つに決める」ところ。答えの符号が合っていても、理由が無いと「たまたま合った」と区別がつかない。

こう書く

(1) $y=x^2\ (x\le0)$ の値域は $y\ge0$。
$y=x^2$ より $x^2=y$、$x=\pm\sqrt y$。
$x\le0$ なので $x=-\sqrt y\quad(y\ge0)$
$x$ と $y$ を入れ換えて、逆関数は
答　$y=-\sqrt x\quad(x\ge0)$

(2) $y=x^2-2\ (x\ge0)$ の値域は $y\ge-2$。
$x^2=y+2$ より $x=\pm\sqrt{y+2}$。
$x\ge0$ なので $x=\sqrt{y+2}\quad(y\ge-2)$
$x$ と $y$ を入れ換えて、逆関数は
答　$y=\sqrt{x+2}\quad(x\ge-2)$