問題

次の関数の逆関数を求めよ。また、そのグラフをかけ。
(1) $y=\sqrt{-x}$
(2) $y=\dfrac12x^2\ (2\le x\le4)$

書いたもの

(1) は値域 $y\ge0$ を書いてから2乗し、$x=-y^2$、答え $y=-x^2\ (x\ge0)$。グラフも合っている。ここは大丈夫。

(2)
$y=\dfrac12x^2\quad(2\le x\le4)$
値域　$2\le y\le8$
$x=\sqrt{2y}\quad(2\le y\le8)$
$y=\sqrt{2x}\quad(2\le x\le8)$
（グラフ：点線 $y=x$ と、点 $(2,2)$ から右上へ伸びる実線。もう一方の端点に「$(4,8)$」と書いてある）

どこがまずいか

式の答え $y=\sqrt{2x}\ (2\le x\le8)$ は合ってる。でも穴が2つある。

穴1：$x=\sqrt{2y}$ の行
$y=\dfrac12x^2$ から $x$ について解くと $x^2=2y$、$x=\pm\sqrt{2y}$ の2つが出る。$+$ を取る理由は「もとの定義域が $2\le x\le4$ で $x>0$ だから」。答案では $x^2=2y$ の行も $\pm$ も飛ばしていきなり $x=\sqrt{2y}$ になっていて、なぜ $+$ なのかが書いていない。
もとの定義域が $-4\le x\le-2$ なら答えは $y=-\sqrt{2x}$ になる。符号を決めているのは定義域なので、その一言が無いと、答えの符号が合っていても理由のない行として減点される。

穴2：グラフの端点の座標
グラフのもう一方の端に「$(4,8)$」と書いてある（ノートの字からそう読めた）。$(4,8)$ はもとの関数 $y=\dfrac12x^2$ の端点（$x=4$ のとき $y=8$）で、逆関数のグラフの点ではない。
逆関数 $y=\sqrt{2x}$ は $x=8$ のとき $y=\sqrt{16}=4$ なので、端点は $(8,\ 4)$。逆関数のグラフはもとのグラフを $y=x$ で折り返したものなので、座標の $x$ と $y$ も入れかわる。$(2,2)$ は $y=x$ の上の点なので、入れかえても同じ。
「グラフをかけ」の問題では端点の座標が採点の対象になる。式が合っていてもここで削られる。

こう書く

(2) $y=\dfrac12x^2$ は $2\le x\le4$ で増加するので、値域は $2\le y\le8$。
$y=\dfrac12x^2$ より $x^2=2y$、$x=\pm\sqrt{2y}$。
$2\le x\le4$ より $x>0$ なので $x=\sqrt{2y}\quad(2\le y\le8)$
$x$ と $y$ を入れ換えて、逆関数は
答　$y=\sqrt{2x}\quad(2\le x\le8)$
グラフは、もとの $y=\dfrac12x^2\ (2\le x\le4)$ のグラフと直線 $y=x$ に関して対称な曲線で、端点は $(2,\ 2)$ と $(8,\ 4)$（両端とも含む）。上に凸で、$(2,2)$ から $(8,4)$ までゆるやかに増える。