問題

次の方程式、不等式を解け。
(1) $\dfrac{3x-6}{x-1}=-x+6$
(2) $\dfrac{3x-6}{x-1}\ge-x+6$
(3) $\dfrac{-x}{x+2}\le-x+1$
(4) $\dfrac{x-3}{x-2}>x+1$

（見たのは (4)。(1)〜(3) は穴なし）

書いたもの

(4) $\dfrac{x-3}{x-2}>x+1$
$\dfrac{x-3}{x-2}=x+1$ として
$x-3=(x+1)(x-2)$
$x-3=x^2-x-2$
$x^2-2x+1=0$
$(x-1)^2=0$　$x=1$
$\dfrac{x-3}{x-2}=\dfrac{(x-2)-1}{x-2}=\dfrac{-1}{x-2}+1$
（グラフ：漸近線 $x=2,\ y=1$ の双曲線と直線 $y=x+1$。$x=1$ のところで直線が曲線にふれている絵）
答　$x<1,\ 1<x<2$

どこがまずいか

答えは合ってる。でも記述だと、$x=1$ を除く理由と「$x<2$ ではいつも曲線が上」の理由が答案に無いので削られる。

• どの行か：$(x-1)^2=0$ で $x=1$ を出したあと、すぐグラフをかいて答えを読んでいる。$x=1$ が重解であること、つまり直線が曲線に接していて、そこ以外では交わらないことを1回も書いていない。
• なぜつながらないか：グラフの絵は「接している」のか「すぐ近くで2回交わっている」のか「ぎりぎり離れている」のかを区別できない。答え $x<1,\ 1<x<2$ を出すには「交わるのは $x=1$ の1点だけで、そこでは等号」という事実が要る。それを決めているのは絵ではなく $(x-1)^2=0$ の重解のほう。答案ではそれが「$x=1$」とだけ書かれていて、接点だとは読めない。
• 何がまぎれこむか：直線を少しだけずらすと、絵はほとんど同じなのに答えが変わる。

- $\dfrac{x-3}{x-2}>x+1.01$：交点の式は $x^2-1.99x+0.98=0$（判別式 $0.0401>0$）で、交点が $x\approx0.895,\ 1.095$ の2つ。答えは $x<0.895\cdots,\ 1.095\cdots<x<2$ で、あいだが抜ける。
- $\dfrac{x-3}{x-2}>x+0.99$：判別式 $-0.0399<0$ で交わらない。答えは $x<2$ で、$x=1$ も入る。
- 3つとも手でかいた絵では見分けられない。分けているのは判別式（重解かどうか）だけ。

$x=1$ のまわりを拡大するとこうなる（赤が曲線・青が直線）。左が本物、右が直線を $0.01$ 上げたもの。ノートの大きさの絵では、この差は見えない。

• もう1つ：$x=1$ を答えから除く理由も書いていない。$x=1$ では両辺とも $2$ で等しく、不等号が $>$（等号なし）なので入らない。この1行が無いと、採点者には「たまたま外れた」のか「わかって外した」のか読めない。
• 確かめ：左辺−右辺 を $x=0,\ 0.9,\ 1,\ 1.1,\ 1.9$ で計算すると $0.5,\ 0.009,\ 0,\ 0.011,\ 8.1$。$x=1$ だけ $0$ で、ほかは正。$x=2.5$ では $-4.5$ で負。答えのとおり。

東大の記述では、グラフは見通しに使うだけで、範囲は式で決めてしまうのがいちばん安全。

こう書く

(4) $x\neq2$ である。

よって与えられた不等式は

$(x-1)^2\ge0$ で、等号は $x=1$ のときだけ。
$x=1$ のとき左辺は $0$ になり成り立たない。
$x\neq1$ のとき $(x-1)^2>0$ なので、$x-2<0$ すなわち $x<2$ と同じ。
答　$x<1,\ 1<x<2$

グラフで書くなら：「$\dfrac{x-3}{x-2}=x+1$ を整理すると $(x-1)^2=0$ で $x=1$ は重解。よって直線 $y=x+1$ は曲線 $y=-\dfrac{1}{x-2}+1$ に点 $(1,2)$ で接し、ほかに共有点はない。$x<2$ では $x=1$ を除いて曲線が直線より上にあり（例 $x=0$ で $\frac32>1$）、$x>2$ では曲線は $y<1$、直線は $y>3$ なので曲線が下。$x=1$ では等号なので含まない。」と書いてから答え。