問題

次の方程式、不等式を解け。
(1) $\sqrt{3-2x}=-\dfrac12x+\dfrac32$
(2) $\sqrt{3-2x}\ge-\dfrac12x+\dfrac32$
(3) $\sqrt{3x+4}<\dfrac12x+2$
(4) $\sqrt{1-2x}\ge-x+1$

（見たのは (3)(4)。(1) は2乗して出した $x=-3,\ 1$ をもとの式に入れて確かめてあり、(2) はその交点を使っているので穴なし）

書いたもの

(3) $\sqrt{3x+4}<\dfrac12x+2$
$3x+4=\left(\dfrac12x+2\right)^2$
$3x+4=\dfrac14x^2+2x+4$
$\dfrac14x^2-x=0$
$\dfrac14x(x-4)=0$
$x=0,\ 4$
$y=\sqrt{3x+4}$、$y^2=3x+4$、$x=\dfrac13y^2-\dfrac43$
（グラフ：$x=-\frac43$ から始まる放物線の上半分と直線 $y=\frac12x+2$）
答　$-\dfrac43\le x<0,\ 4<x$

(4) $\sqrt{1-2x}\ge-x+1$
$1-2x=(-x+1)^2$
$1-2x=x^2-2x+1$
$x^2=0$
$x=0$
$y=\sqrt{1-2x}$、$y^2=1-2x$、$x=-\dfrac12y^2+\dfrac12$
（グラフ：曲線と直線が $x=0$ の1点でふれている絵）
答　$x=0$

どこがまずいか

答えは2つとも合ってる。でも記述だと、(3) は「2乗してよい理由（または交点の確かめ）」、(4) は「$x=0$ 以外で成り立たない理由」が無いので削られる。

(3) 2乗して出した $x=0,\ 4$ を確かめていない

• どの行か：1行目から2行目。$\sqrt{3x+4}=\frac12x+2$ を2乗して $3x+4=\left(\frac12x+2\right)^2$ にしている。(1) では出した解をもとの式に入れて確かめているのに、(3) ではやっていない。
• なぜつながらないか：2乗は同値な変形ではない。$A=B^2$ には $\sqrt A=B$ の解だけでなく $\sqrt A=-B$ の解もまざる。だから $x=0,\ 4$ が本当に曲線と直線の交点かは、2乗した式からは言えない。交点がまちがっていれば、そのあとのグラフの範囲も全部くずれる。
• 何がまぎれこむか：右辺を $x$ に変えただけの $\sqrt{3x+4}<x$ で同じことをすると、2乗して $x^2-3x-4=0$、$x=-1,\ 4$。でも $x=-1$ は 左辺 $1$・右辺 $-1$ で交点ではない。右辺が負なのに、2乗で $(-1)^2=1$ になって紛れた（$x=-1$ は $\sqrt{3x+4}=-x$ の解）。これを交点だと思ってグラフを読むと「$-\frac43\le x<-1,\ 4<x$」と書いてしまうが、$x=-1.2$ では 左辺 $0.63\cdots$・右辺 $-1.2$ で成り立たない。正しい答えは $x>4$ だけ。

赤が $y=\sqrt{3x+4}$、青が $y=x$、灰色の点線が $y=-x$。2乗した式の解は、曲線と青の交点（黒）だけでなく、曲線と点線の交点（白）もひろってしまう。

• 今回は $x\ge-\frac43$ で右辺 $\frac12x+2\ge\frac43>0$ なので、たまたま紛れる解が無かった。確かめると $x=0$：左辺 $2$・右辺 $2$、$x=4$：左辺 $4$・右辺 $4$ でどちらも交点。この「右辺が正」か「代入の確かめ」のどちらかを1行書けば、理由のある答案になる。

(4) 曲線と直線が「接している」ことを絵だけで決めている

• どの行か：$x^2=0$、$x=0$ のあと、グラフをかいて答え $x=0$ を書いている。$x=0$ が重解であること、定義域 $x\le\frac12$ のほかの所では成り立たないことを、式で一度も言っていない。
• なぜつながらないか：答え「$x=0$ だけ」を言うには「$x\neq0$ ではいつも 曲線 < 直線」が要る。絵では、ぎりぎり接しているのか、すぐ横で2回交わっているのか、ぎりぎり離れているのかは区別できない。
• 何がまぎれこむか：直線を少しずらすと、絵はほとんど同じなのに答えが変わる。

- $\sqrt{1-2x}\ge-x+0.99$：交点が $x\approx-0.151,\ 0.131$ の2つで、答えは $-0.151\cdots\le x\le0.131\cdots$ の区間になる。
- $\sqrt{1-2x}\ge-x+1.01$：交わらず、解なし。
- 3つの絵は見分けられない。分けているのは $x^2=0$（重解）か、2乗した不等式 $x^2\le0$ のほう。

$x=0$ のまわりを拡大するとこうなる（赤が曲線・青が直線）。左が本物、右が直線を $0.01$ 下げたもの。

• 確かめ：左辺−右辺 を $x=-3,\ -0.1,\ 0,\ 0.1,\ 0.5$ で計算すると $-1.354,\ -0.005,\ 0,\ -0.006,\ -0.5$。$x=0$ だけ $0$ で、ほかは負。
• (4) は「解なし」とも「$x\le\frac12$」とも書きやすい問題。式で $x^2\le0$ まで持っていけば、迷う所がなくなる。

こう書く

(3) 根号の中が $0$ 以上なので $3x+4\ge0$、すなわち $x\ge-\dfrac43$。
このとき $\dfrac12x+2\ge\dfrac12\cdot\left(-\dfrac43\right)+2=\dfrac43>0$ なので、両辺とも $0$ 以上。両辺を2乗した不等式と同値になる。

$x\ge-\dfrac43$ とあわせて
答　$-\dfrac43\le x<0,\ 4<x$

(4) 根号の中が $0$ 以上なので $1-2x\ge0$、すなわち $x\le\dfrac12$。
このとき $-x+1\ge-\dfrac12+1=\dfrac12>0$ なので、両辺とも $0$ 以上。両辺を2乗した不等式と同値になる。

$x=0$ は $x\le\dfrac12$ を満たす。
答　$x=0$

グラフで解くなら：(3) は「$x=0$ のとき両辺 $2$、$x=4$ のとき両辺 $4$ なので、$x=0,\ 4$ はどちらも交点」と確かめてから範囲を読む。(4) は「$x=0$ は重解なので直線は曲線に点 $(0,1)$ で接し、ほかに共有点はない。$x\le\frac12$ の $x\neq0$ では曲線が直線より下（例 $x=\frac12$ で $0<\frac12$）」と書いてから答え。