問題

関数 $f(x)=\sqrt{x-1}$ とその逆関数 $f^{-1}(x)$ について、$(f^{-1}\circ f)(x)=x$ が成り立つことを示せ。

書いたもの

$f(x)=\sqrt{x-1}$（赤で「$f(x)$ の定義域は $x\ge1$、値域は $y\ge0$」）
$y=\sqrt{x-1}$ とおくと、$y\ge0$ である
これを $x$ について解くと
$y=\sqrt{x-1}$
$y^2=x-1$
$x=y^2+1\ (y\ge0)$
よって逆関数は $x$ と $y$ を入れ換えて
$y=x^2+1\ (x\ge0)$
よって $f^{-1}(x)=x^2+1\ (x\ge0)$
$(f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(f(x))$
$=(\sqrt{x-1})^2+1$
$=x-1+1$
$=x$
（左に書き足し）$f(x)\ge0$ は $f^{-1}(x)$ の定義域に入るので合成できる。よって $(f^{-1}\circ f)(x)=x$ は成り立つ

どこがまずいか

逆関数の出し方と「合成できる理由」はちゃんと書けてる。足りないのは「どの $x$ で $x$ に等しいのか」の範囲だけ。小さい穴だけど、「示せ」の問題では範囲の書きもれは減点の対象になる。

• どの行か：$(f^{-1}\circ f)(x)=(\sqrt{x-1})^2+1=x-1+1=x$ の計算と、最後の「$(f^{-1}\circ f)(x)=x$ は成り立つ」。どちらにも「$x\ge1$ において」が無い。
• なぜつながらないか：$(\sqrt{x-1})^2=x-1$ が言えるのは $\sqrt{x-1}$ が実数のとき、つまり $x\ge1$ のときだけ。$f^{-1}\circ f$ の定義域も、最初に $f$ に入れる所なので $f$ と同じ $x\ge1$。範囲を書かずに「$=x$」で終えると、「すべての実数 $x$ で $x$ に等しい」と言ったことになる。
• 何がまぎれこむか：$x=-3$ を考えると、$f(-3)=\sqrt{-4}$ は実数にならず、$(f^{-1}\circ f)(-3)$ はそもそも無い。答案の書き方のままだと「$(f^{-1}\circ f)(-3)=-3$」まで言ったことになってしまう。
• 逆向きと比べると範囲の大事さがわかる：$f^{-1}(x)=x^2+1$ の「$(x\ge0)$」を忘れてすべての $x$ に使うと、$f(f^{-1}(x))=\sqrt{(x^2+1)-1}=\sqrt{x^2}=|x|$ で、$x=-2$ なら $2$ になり $x$ と一致しない。$x$ に戻るのは $x\ge0$（$f^{-1}$ の定義域）だから。合成の等式は、いつも「どの範囲で」とセットで言う。
• 書き足した「$f(x)\ge0$ は $f^{-1}$ の定義域に入るので合成できる」は、問題7の質問（$f$ の値域が $g$ の定義域に入っていれば合成できる）と同じ考え方で、正しく書けている。

こう書く

$f(x)=\sqrt{x-1}$ の定義域は $x\ge1$、値域は $y\ge0$ である。
$y=\sqrt{x-1}$ とおくと $y\ge0$ で、両辺を2乗して $y^2=x-1$、すなわち $x=y^2+1\ (y\ge0)$。
$x$ と $y$ を入れ換えて

$f$ の値域 $y\ge0$ は $f^{-1}$ の定義域 $x\ge0$ に含まれるので、$f^{-1}\circ f$ は $f$ の定義域 $x\ge1$ 全体で定まる。
$x\ge1$ のとき $\sqrt{x-1}\ge0$ で $(\sqrt{x-1})^2=x-1$ なので

よって、$f^{-1}\circ f$ の定義域 $x\ge1$ において $(f^{-1}\circ f)(x)=x$ が成り立つ。（終）