問題

右の図は、$x$ 軸を漸近線としてもつ指数関数 $y=f(x)$ と、$y$ 軸を漸近線としてもつ対数関数 $y=g(x)$ のグラフである（図から読める値：$f(0)=1,\ f(1)=p^2$、$g(1)=0,\ g(p)=1$）。
合成関数 $y=(g\circ f)(x),\ y=(f\circ g)(x)$ の説明として正しいものを、それぞれ ①〜④ からすべて選べ。
① 定義域は実数全体である　② 値域は実数全体である　③ グラフが原点を通る　④ グラフ全体が $x$ 軸より上側にある

書いたもの

$f(x)=p^{2x}$（定義域なし．値域 $0<y$）
$g(x)=\log_px$（定義域 $0<x$．値域なし）
$f(x)>0$ は $g(x)$ の定義域に含まれるので合成できる．
…
$g(x)$ の値域は $f(x)$ の定義域に含まれるので合成できる．

どこがまずいか

$f$ の「定義域なし」と $g$ の「値域なし」。

言いたいのは「制限が無い＝実数全体」。でも「なし」をそのまま読むと「定義域（値域）が空っぽ」になる。言いたいことと逆の意味になる書き方。

この問題ではとくに困る。選択肢 ①「定義域は実数全体である」②「値域は実数全体である」が、まさにそこを聞いている。$f$ の定義域を「なし」と書いたままだと、$g\circ f$ の定義域（$f$ の定義域から来る）も「なし」になり、①を選ぶ理由が答案の中で立たない。

もう1つ、答案の後半で「$g(x)$ の値域は $f(x)$ の定義域に含まれるので合成できる」と書いている。書いたとおりに読むと「なし ⊂ なし」で、何を比べたのか分からない。比べたいのは「実数全体 ⊂ 実数全体」。

答え（$g\circ f$ は ①②③、$f\circ g$ は ④）は合っている。でも言葉が逆の意味に読めるので、記述では誤りに数えられうる。
同じ書き方が 数3-p23-演習4 の $f_1$ にもある（別の件）。

こう書く

図より $f(0)=1,\ f(1)=p^2$ なので $f(x)=(p^2)^x=p^{2x}$（$p>1$）。定義域は実数全体、値域は $y>0$。
$g(1)=0,\ g(p)=1$ なので $g(x)=\log_px$。定義域は $x>0$、値域は実数全体。

$f$ の値域 $y>0$ は $g$ の定義域 $x>0$ に含まれるので $g\circ f$ が作れ、その定義域は $f$ の定義域と同じ実数全体。

定義域・値域ともに実数全体で、原点を通る直線。→ ①②③

$g$ の値域（実数全体）は $f$ の定義域（実数全体）に含まれるので $f\circ g$ が作れ、その定義域は $g$ の定義域と同じ $x>0$。

値域は $y>0$。$x=0$ を含まないので原点は通らない。グラフ全体が $x$ 軸より上にある。→ ④

答　$(g\circ f)(x)$ は ①②③、$(f\circ g)(x)$ は ④