問題

右の図は、$x$ 軸を漸近線としてもつ指数関数 $y=f(x)$ と、$y$ 軸を漸近線としてもつ対数関数 $y=g(x)$ のグラフである（図から読める値：$f(0)=1,\ f(1)=p^2$、$g(1)=0,\ g(p)=1$）。
合成関数 $y=(g\circ f)(x),\ y=(f\circ g)(x)$ の説明として正しいものを、それぞれ ①〜④ からすべて選べ。
① 定義域は実数全体である　② 値域は実数全体である　③ グラフが原点を通る　④ グラフ全体が $x$ 軸より上側にある

書いたもの

$f(x)=p^{2x}$（定義域なし．値域 $0<y$）
$g(x)=\log_p x$（定義域 $0<x$．値域なし）
「$f(x)>0$ は $g(x)$ の定義域に含まれるので合成できる．」
$y=(g\circ f)(x)=g(f(x))=\log_p p^{2x}=2x$
$y=2x\ (0<x)$ → $(0<x)$ に線を引いて「これはいらない」　答 ①②③（④は消している）
「$g(x)$ の値域は $f(x)$ の定義域に含まれるので合成できる．」
$y=(f\circ g)(x)=f(g(x))=p^{2\log_p x}\ (x>0)=(p^{\log_p x})^2=x^2\ (x>0)$　答 ④（②は消している）
ピンクの書きこみ：$f(\bigcirc)$ の ○ を指して「ここに入れる値の定義域はない」、$f\circ g$ の $(x>0)$ を指して「むしろここにある」

質問

「合成するともとの $g(x)$ の定義域が失われるのはなぜ？」

答え

失われていない。$g$ の条件は「$g$ に入れるもの」にかかっていて、$g\circ f$ では入れるものが $f(x)$ に変わるので、条件も「$f(x)>0$」に変わる。それがいつも成り立つから見えなくなっただけ。

$g(x)=\log_p x$ の「$0<x$」は、文字が $x$ だから $x$ の条件に見えるけど、本当は「$\log_p$ の中身は正」という条件。$\log_p(\ \square\ )$ の □ に入るものが何であっても、□ $>0$ が要る。

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=\log_p\bigl(f(x)\bigr)$ では □ に入るのは $f(x)=p^{2x}$。
だから要る条件は $p^{2x}>0$。指数関数はいつも正なので、どんな $x$ でも成り立つ。$x$ には何の条件も残らない。
ゆうやが最初に書いた $(0<x)$ は、□ の条件をそのまま $x$ に付けてしまったもの。消したのは正しい。

確かめ：$x=-1$ を入れると $f(-1)=p^{-2}>0$、$g(p^{-2})=\log_p p^{-2}=-2$。$2x=-2$ と合う。$x$ が負でもちゃんと計算できる。

逆の $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ では、先に $g$ が $x$ そのものを受けとる。□ に入るのが $x$ なので $x>0$ がそのまま残る。ピンクで「むしろここにある」と書いたのはその通り。
$p^{2\log_p x}=x^2$ と式が簡単になっても $x>0$ は消えない。$y=x^2$ のうち $x>0$ の部分だけ（原点は含まない）。

図（$p=2$ のとき）。左は $f(x)=4^x$（灰色）がいつも $x$ 軸より上にある＝$g$ に入れてよい値しか出てこないので、$y=2x$ が全部残る。右は $y=x^2$ の左半分（灰色）が $g$ の入口で落とされる。

まとめ：合成 $g\circ f$ の定義域は「$f$ に入れてよくて、出てきた $f(x)$ を $g$ に入れてよい $x$」。$f$ の値域が $g$ の定義域にすっぽり入っていれば、後ろの条件は自動で満たされ、残るのは $f$ の定義域だけ。
答　$(g\circ f)(x)=2x$ は ①②③、$(f\circ g)(x)=x^2\ (x>0)$ は ④