問題

関数 $y=\sqrt{3x+6}$ が $0\le x\le a$ の範囲において最大値 $2\sqrt3$ をとるように、定数 $a$ の値を定めよ。

書いたもの

$y=\sqrt{3x+6}\ (0\le x\le a)$　max $2\sqrt3$
$y^2=3x+6\ (y\ge0)$
$x=\dfrac13y^2-2$
（グラフ：$x=-2$ から右上へのびる曲線をかき、$0\le x\le a$ の部分を実線にしている）
$y=2\sqrt3$ のときの $x$ が求める $a$
$a=x=\dfrac13(2\sqrt3)^2-2=\dfrac13\cdot12-2=2$

どこがまずいか

「$y=2\sqrt3$ のときの $x$ が求める $a$」の1行に、なぜ最大値をとる場所が $x=a$（右の端）なのかが書いていない。

最大値 $2\sqrt3$ をとるのは「$0\le x\le a$ の中で $y$ がいちばん大きくなる $x$」。それが右の端 $x=a$ だと言えるのは、$y=\sqrt{3x+6}$ が単調に増加するから。この理由が無いと、「最大値をとる場所」と「$y=2\sqrt3$ になる場所」を、何も言わずに同じものとして扱っていることになる。
グラフはかいてあって、見れば増えているのは分かる。でも採点者は文で書いてあることしか論証として数えない。

この書き方だと何がまぎれこむか：同じ手順を、増加でない関数にあてると答えがずれる。
例：$y=-x^2+2x+3\ (0\le x\le a)$ の最大値が $4$ になる $a$ を求める。
「$y=4$ のときの $x$ が $a$」とすると、$-x^2+2x+3=4$ より $x=1$ で、$a=1$ と答えてしまう。
ところが $y=-(x-1)^2+4$ は $x=1$ で頂点なので、$a\ge1$ ならどれでも最大値は $4$（$a=1,\ 2,\ 3,\ 4$ で最大値がどれも $4$ になるのを python で確かめた）。正しい答えは $a\ge1$。

今回は単調増加なので答えは合っている。ただ、答えを出した理由の芯（最大は $x=a$）が抜けているので、記述では削られる。

もう1つ小さいこと：求めた $a=2$ が範囲 $0\le x\le a$ として意味をもつ（$a\ge0$）ことも、1言添えると締まる。

こう書く

$y=\sqrt{3x+6}$ は $x\ge-2$ で単調に増加する。
よって $0\le x\le a$ における最大値は $x=a$ のときの値 $\sqrt{3a+6}$ である。
これが $2\sqrt3$ に等しいので

これは $a>0$ を満たす。

答　$a=2$