問題

次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(2n^3-4n)$　(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(7n^2-3n^3)$　(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+2n}-n)$　(4) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1})$　(5) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2+1}{2n-3}$　(6) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n-\sqrt{n^2+n}}$

書いたもの

(5) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2+1}{2n-3}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1+\frac{1}{n^2}}{\frac2n-\frac{3}{n^2}}=\dfrac{1+0}{0-0}=1$　（丸が付いている）

どこがまずいか

答えがちがう。正しくは $\infty$。丸が付いているけど、これは不正解。

• 3 行目の $\dfrac{1+0}{0-0}$ で、0 に行く分母に 0 を代入している。分母が 0 の分数は値を持たないので、「$=1$」はどこからも出てこない（$\dfrac{1}{0}$ は 1 ではない）。
• 分子 $\to1$・分母 $\to0$ のときは、分母がどっち側から 0 に行くかで $+\infty$ か $-\infty$ に分かれる。ここは $\dfrac2n-\dfrac3{n^2}=\dfrac{2n-3}{n^2}>0$（$n\ge2$）なので正の側から行き、$+\infty$。
• 数で確かめると $n=1000$ で $\dfrac{1000001}{1997}\fallingdotseq500.8$。1 には近づかない。
• 分子 2 次・分母 1 次の時点で、答えは $\pm\infty$ になると先にわかる。有限の数が出たら見直しの合図。

ほかの小問は大丈夫だった（(1) は問題文が $2n^3-4n$ なのに $2n^3-3n$ と写している。答えの $\infty$ は変わらないけど、写しまちがいには気をつけて）。

こう書く

分母の最高次 $n$ で分子と分母を割る。

において

よって

$n^2$ で割るなら、分母の符号まで書く。
$n\ge2$ のとき $\dfrac2n-\dfrac3{n^2}=\dfrac{2n-3}{n^2}>0$ で、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{2n-3}{n^2}=0$、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{n^2}\right)=1>0$ であるから

答　$\infty$