問題

次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(2n^3-4n)$　(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(7n^2-3n^3)$　(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+2n}-n)$　(4) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1})$　(5) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2+1}{2n-3}$　(6) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n-\sqrt{n^2+n}}$

書いたもの

(5) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2+1}{2n-3}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1+\frac{1}{n^2}}{\frac2n-\frac{3}{n^2}}=\dfrac{1+0}{0-0}=1$
（分子分母を $n^2$ で割っている）
ピンクの書きこみ：「分数の場合 分母の最高次数のnで割るのは絶対？ ↓ そうでない場合どうなるの？」

質問

「分数の場合 分母の最高次数のnで割るのは絶対？ ↓ そうでない場合どうなるの？」

答え

絶対ではない。何で割っても値は変わらない（分子と分母に同じ数を掛けているだけ）。ただ、分母の最高次で割ると「分母が 0 でない数に行く」ので、あとは分子だけ見れば終わる。だから教科書はいつもそれを使う。

ほかの $n^k$ で割ってもいい。そのかわり、分母が 0 に行くことがある。そこが落とし穴。

分子の最高次 $n^2$ で割るとどうなるか（ゆうやがやった割り方）

分子 $\to1$、分母 $\to0$。ここで $\dfrac{1+0}{0-0}$ と 0 を代入すると「0 で割る」式になる。これは計算できないので、「$=1$」とは言えない（$\dfrac{1}{0}$ は 1 ではない）。
分母が 0 に行くときは、どっち側から 0 に近づくかを見る。

分母は正のまま 0 に近づく。「1 を、どんどん小さくなる正の数で割る」ので、どんどん大きくなる。答え $+\infty$。
つまり、この割り方でも正しく進めれば答えは出る。ただ符号を自分で確かめる一手間が増える。

分母の最高次 $n$ で割ると

分母 $\to2$（0 でない）、分子 $\to\infty$ なので、そのまま $\infty$。符号の確かめが要らない。

確かめ：$n=100$ で $\dfrac{10001}{197}\fallingdotseq50.8$、$n=1000$ で $\dfrac{1000001}{1997}\fallingdotseq500.8$。だいたい $\dfrac n2$ で増えていく。1 には近づかない。

分子と分母の次数で、答えの形は先に決まる
分子の次数を $p$、分母の次数を $q$ とすると

• $p<q$：$0$（例 $\dfrac{n+1}{n^2+3}\to0$）
• $p=q$：最高次の係数の比（例 $\dfrac{3n^2+1}{2n^2-n}\to\dfrac32$）
• $p>q$：$\infty$ か $-\infty$。符号は最高次の係数の比の符号（例 (5) は $\dfrac12>0$ なので $+\infty$）

(5) は分子 2 次・分母 1 次なので、解く前から「$\infty$ か $-\infty$」とわかる。答えが有限の数になったら、どこかでまちがえている合図。

まとめ：何で割ってもよいが、0 に行く分母に 0 を代入してはいけない。迷ったら分母の最高次で割る。そうすれば分母が 0 にならない。
答　(5) $\infty$