問題

次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{4^n+5^n}{3^n-5^{n+1}}$　(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{5^n+2^n}{3^n}$　(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{3^n-4^n}{2^{n+1}}$

書いたもの

(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{4^n+5^n}{3^n-5^{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1+\left(\frac45\right)^n}{\frac15\left(\frac35\right)^n-1}=\dfrac{1+0}{0-1}$（ピンクの斜線で ✕）
ピンクの書きこみ：分子に「$\div5^n$」、分母に「$\div5^{n+1}$」、矢印で「割る次数がズレてる」
(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{5^n+2^n}{3^n}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{5^n\left\{1+\left(\frac25\right)^n\right\}}{3^n}=\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac53\right)^n\left\{1+\left(\dfrac25\right)^n\right\}=\infty$（丸）
(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{3^n-4^n}{2^{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{4^n\left\{\left(\frac34\right)^n-1\right\}}{2^{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac12\cdot2^n\left\{\left(\dfrac34\right)^n-1\right\}=-\infty$（丸）

どこがまずいか

• (1) 分子は $5^n$、分母は $5^{n+1}$ と、ちがう数で割っている。 分数の値を変えずに済むのは、分子と分母を同じ数で割るときだけ。分子を $5^n$・分母を $5^{n+1}=5\cdot5^n$ で割ると、分数全体が $5$ 倍になる。だから出てきた $-1$ は、正しい答 $-\frac15$ のちょうど $5$ 倍。ゆうやのメモ「割る次数がズレてる」はその通り。

分母を $5^n$ で割ると $\dfrac{3^n}{5^n}-\dfrac{5^{n+1}}{5^n}=\left(\dfrac35\right)^n-5$。$-1$ ではなく $-5$ が残る。
確かめ：$n=20$ で元の式は $-0.2023\cdots$。$-\frac15=-0.2$ に近く、$-1$ からは遠い。

• (2)(3) 答は合っている。 ただ、最後の「$=\infty$」「$=-\infty$」の前に、どの因数がどこへ行くかが書いていない。(2) は $\left(\frac53\right)^n\to\infty$ と $1+\left(\frac25\right)^n\to1$ の積、(3) は $2^n\to\infty$ と $\left(\frac34\right)^n-1\to-1$ の積。とくに (3) は「$-1$ に行くもの」をかけているから $-\infty$ で、符号の根拠はそこにしかない。教科書の例題2も同じ書き方なので大きくは削られないが、1行足しておけば確実。

こう書く

(1) 分母・分子を $5^n$ で割ると

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac45\right)^n=0,\ \lim_{n\to\infty}\left(\frac35\right)^n=0$ であるから

(2)

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac53\right)^n=\infty,\ \lim_{n\to\infty}\left\{1+\left(\frac25\right)^n\right\}=1$ であるから、極限は $\infty$
(3)

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}2^n=\infty,\ \lim_{n\to\infty}\left\{\left(\frac34\right)^n-1\right\}=-1$ であるから、極限は $-\infty$

答　(1) $-\dfrac15$　(2) $\infty$　(3) $-\infty$