問題

数列 $\{(x-1)^n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。また、そのときの極限値を求めよ。

書いたもの

「数列 $\{r^n\}$ が収束するための必要十分条件は $-1<r\le1$」
$-1<x-1\le1$
$0<x\le2$　極限値は $0$

どこがまずいか

• 極限値を「$0$」の1つだけ書いている。 $x=2$ のとき $(x-1)^n=1^n=1$ で、極限値は $1$。$0<x\le2$ の全部で $0$ になるわけではない。問われているのは「収束する範囲」と「そのときの極限値」の2つで、2つ目が半分まちがい。範囲が合っていても、極限値の項は落とされる。
• 公比が $x-1$ であることを書いていない。 「必要十分条件は $-1<r\le1$」から急に $-1<x-1\le1$ になっていて、$r=x-1$ と見たことが答案に無い。1行で足りるので書く。
• 定理を引くこと自体は大丈夫（質問のほうの答えを見て）。足りないのは場合分け：収束の範囲 $-1<r\le1$ は「$r=1$」と「$|r|<1$」の2つでできていて、極限値はそこで分かれる。

こう書く

$\{(x-1)^n\}$ は公比 $x-1$ の無限等比数列である。
$\{r^n\}$ が収束するための必要十分条件は $-1<r\le1$ であるから、求める範囲は

このとき

• $x-1=1$ すなわち $x=2$ のとき、$(x-1)^n=1$ であるから、極限値は $1$
• $-1<x-1<1$ すなわち $0<x<2$ のとき、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(x-1)^n=0$ であるから、極限値は $0$

答　$0<x\le2$。極限値は $x=2$ のとき $1$、$0<x<2$ のとき $0$