問題

数列 $\{(x-1)^n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。また、そのときの極限値を求めよ。

書いたもの

数列 $\{(x-1)^n\}$
「数列 $\{r^n\}$ が収束するための必要十分条件は $-1<r\le1$」
$-1<x-1\le1$
$0<x\le2$　極限値は $0$
（ピンクの斜線で全体に ✕）
ピンクの書きこみ：「必要十分条件」の行への矢印で「これって自明？論証必要？」

質問

「これって自明？論証必要？」
「なんで $x=2$ のとき極限値が変わることに気付けるの？ $r$ の値によって極限が変わるパターンは判別式のように覚えてるの？」

答え

1つ目：論証はいらない。教科書 p.35 の枠の中の定理（その前の p.33〜34 で $r>1$・$r=1$・$|r|<1$・$r=-1$・$r<-1$ を全部確かめたまとめ）なので、名前を出して使ってよい。東大の答案でも「$\{r^n\}$ が収束する条件は $-1<r\le1$」は既知として書いてよい。

ただし書くときは「公比 $x-1$ の等比数列だから」の一言をつける。何を $r$ と見たかが書いてあれば、そのあとの $-1<x-1\le1$ はそのまま通る。
ゆうやの答案で削られるのは定理を引いたところではなく、極限値の書き落とし（下の添削の話）。

2つ目：判別式のように覚えるものではない。$r^n$ の行き先の表（p.34 の枠）を毎回思い出すだけで、そこに答えが全部書いてある。

• $r>1$ → $\infty$
• $r=1$ → $1$
• $|r|<1$ → $0$
• $r\le-1$ → 振動

「収束する」のは真ん中の2行で、その2行は行き先がちがう（$1$ と $0$）。だから「収束する範囲 $-1<r\le1$」を出した時点で、その範囲が「$r=1$ の1点」と「$|r|<1$」の2つに割れているのが見える。
$-1<r\le1$ を1本の区間として覚えていると $x=2$ が見えない。表の2行を足したもの、と覚えていれば自然に気づく。

確かめ：$x=2$ なら $(x-1)^n=1^n=1,1,1,\cdots$ でずっと $1$。$x=1.5$ なら $0.5^n=0.5,0.25,0.125,\cdots\to0$。

逆の場合：ゆうやは次のページの練習10（$\frac{2}{3+r^n}$）では $r>1$・$r=1$・$0<r<1$ の3つにちゃんと分けて解けている。あれは「極限を求めよ」で $r^n$ が式の中にいたから表を引いたはず。練習9も同じで、「極限値を求めよ」と言われたら $r^n$ の表を引いて行き先ごとに分ける。

まとめ：$r^n$ が出てきたら、境目はいつも $r=1$ と $r=-1$（$|r|=1$）。そこで行き先が変わるので、範囲を出したら端の $r=1$ を別に見る。
答　$0<x\le2$。極限値は $x=2$ のとき $1$、$0<x<2$ のとき $0$