問題

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の極限を求めよ。
$a_1=1,\ a_{n+1}=\dfrac23a_n-1\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots)$

書いたもの

$a_1=1,\ a_{n+1}=\dfrac23a_n-1$
与えられた漸化式を変形すると

また $a_1+3=4$
よって数列 $\{a_n+3\}$ は初項 $4$、公比 $\dfrac12$ の等比数列
$a_n+3=4\cdot\left(\dfrac12\right)^{n-1}$
$a_n=4\cdot\left(\dfrac12\right)^{n-1}-3$
ここで $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac12\right)^{n-1}=0$ であるから
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}=-3$（丸）

どこがまずいか

• 公比が $\dfrac12$ になっている。 直前の行で $a_{n+1}+3=\dfrac23(a_n+3)$ と書いているので、公比は $\dfrac23$。$\dfrac12$ は書き写しのまちがいで、そこから下の一般項 $a_n=4\left(\frac12\right)^{n-1}-3$ はまちがった式になっている。

確かめ：漸化式から $a_2=\dfrac23\cdot1-1=-\dfrac13$。ゆうやの式に $n=2$ を入れると $4\cdot\dfrac12-3=-1$ で合わない。正しい式 $4\cdot\dfrac23-3=-\dfrac13$ なら合う。
極限は $\left(\frac12\right)^{n-1}$ でも $\left(\frac23\right)^{n-1}$ でも $0$ に行くので、答の $-3$ はたまたま同じになる。答えは合ってる・記述で削られる。 採点では一般項がまちがっていれば、そこから先は根拠のない式として見られる。

• 最後の行が $\displaystyle\lim_{n\to\infty}=-3$ で、$a_n$ が抜けている。 何の極限かが書いていない。$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-3$ と書く。
• 「与えられた漸化式を変形すると」で $-3$ がどこから出たかは書いていないが、$a_{n+1}+3=\dfrac23(a_n+3)$ は展開すれば元の漸化式に戻るので、この形で書けば足りる（$\alpha=\dfrac23\alpha-1$ を解いた1行を添えると親切）。

こう書く

$\alpha=\dfrac23\alpha-1$ を解くと $\alpha=-3$。漸化式は

と変形できる。$a_1+3=4$ であるから、数列 $\{a_n+3\}$ は初項 $4$、公比 $\dfrac23$ の等比数列で

$\left|\dfrac23\right|<1$ より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac23\right)^{n-1}=0$ であるから

答　$-3$