問題

次の無限級数の収束、発散について調べ、収束すればその和を求めよ。
(1) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$

書いたもの

(1)「第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とすると」
$S_n=\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac12\left\{\left(1-\dfrac13\right)+\left(\dfrac13-\dfrac15\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)\right\}=\dfrac12\left(1-\dfrac{1}{2n+1}\right)=\dfrac12\cdot\dfrac{2n}{2n+1}=\dfrac{n}{2n+1}$
よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{2+\frac1n}=\dfrac{1}{2+0}=\dfrac12$　収束する

(2)「第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とすると」
$S_n=\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}=\dfrac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{(2n+1)-(2n-1)}=\dfrac12(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})=\dfrac12\left(\sqrt{2+\frac1n}-\sqrt{2-\frac1n}\right)$
よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\dfrac12(\sqrt2-\sqrt2)=0$　収束する

どこがまずいか

• (2) の $S_n$ が和になっていない。答えが逆。 「部分和を $S_n$ とすると」と書いて、右辺は第 $n$ 項 $\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$ そのもの。有理化した $\dfrac12(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})$ も第 $n$ 項。$k=1$ から $n$ まで足すと $S_n=\dfrac12(\sqrt{2n+1}-1)\to\infty$ で、正しくは発散。ノートは「収束する」なので、答えが逆で点にならない。
• (2) で $\sqrt n$ が落ちている。 $\sqrt{2n+1}\to\sqrt{2+\frac1n}$ は $\sqrt n$ で割る書きかえ。分母が無いので値が $\dfrac{1}{\sqrt n}$ 倍に変わる（$n=4$ で $\sqrt9-\sqrt7=0.354\cdots$ が $0.177\cdots$ になる）。(1) の $\dfrac{n}{2n+1}$ は分母と分子を同じ $n$ で割ったので値が変わらない。同じ「$n$ で割る」でも、分数かどうかで別物。
• (2) の $0$ は第 $n$ 項の極限で、級数の収束の根拠にならない。 $a_n\to0$ は正しいが、$a_n\to0$ でも発散する級数がある（この (2) がそう）。収束・発散は $S_n$ の極限で決める。
• (1) も書き出しの $S_n=\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ がまちがい。 右辺は第 $n$ 項で、$S_n$ ではない。2つ目の $=$ から先は和になっていて、計算も答えの $\dfrac12$ も合っている。でも最初の $=$ が「第 $n$ 項＝部分和」と言ってしまっているので、答えが合っていても記述で削られる。部分分数 $\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac12\left(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)$ の行も無いので1行足す。
• 書き出しは (1)(2) とも「$S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(\text{第 }k\text{ 項})=$」にする。$\Sigma$ と $k$ を書けば、第 $n$ 項とまちがえない。

こう書く

(1) 第 $n$ 項は

第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とすると

よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\dfrac12$
答　収束し、和は $\dfrac12$

(2) 第 $n$ 項は、分母を有理化して

第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とすると

よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\infty$
答　発散する（正の無限大に発散）