問題

次の無限級数の収束、発散について調べ、収束すればその和を求めよ。
(1) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$

書いたもの

「第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とすると」
$S_n=\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}=\dfrac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1})(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})}=\dfrac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{(2n+1)-(2n-1)}=\dfrac12(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})$
$=\dfrac12\left(\sqrt{2+\frac1n}-\sqrt{2-\frac1n}\right)$
よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\dfrac12\left(\sqrt{2+\frac1n}-\sqrt{2-\frac1n}\right)=\dfrac12(\sqrt2-\sqrt2)=0$　収束する
ピンクの書きこみ：$\sqrt{2+\frac1n}$ の行から $\dfrac12(\sqrt2-\sqrt2)$ の行までに斜めの取消線、右に「なんで割らんの？」

質問

「なんで割らんの？」

答え

割らないのは、割ると $\sqrt n$ が1つ落ちるから。それより先に、この $S_n$ はまだ和になっていない（第 $n$ 項のまま）。和を取ると $S_n=\dfrac12(\sqrt{2n+1}-1)$ になって、割る場面そのものが無くなる。

まず「割る」の中身。(1) で $\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac{1}{2+\frac1n}$ とできたのは、分母と分子を同じ $n$ で割ったから。分数の値は変わらない。
(2) の $\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}$ には分母が無い。ここで $\sqrt{2n+1}$ を $\sqrt{2+\frac1n}$ に書きかえると、全体を $\sqrt n$ で割ったことになる。値を変えないなら

と $\sqrt n$ を外に残すしかない。ノートはこの $\sqrt n$ が落ちている。残すと「$\sqrt n\to\infty$」と「かっこの中 $\to0$」のかけ算で、この形のままでは極限が決まらない。だから割らない。
確かめ：$n=4$ だと $\sqrt9-\sqrt7=0.354\cdots$ に対し、ノートの式は $\sqrt{2.25}-\sqrt{1.75}=0.177\cdots$。ちょうど $\sqrt4=2$ 倍ずれる。

次に、本当の問題。「第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とすると」と書いたあと、右に書いたのは第 $n$ 項 $a_n=\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$ そのもの。$k=1$ から $n$ まで足していない。
有理化までは正しい。$a_k=\dfrac12(\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1})$ を $k=1,2,\dots,n$ と並べて足すと、となりどうしが消える（(1) と同じ形）。

これは $n\to\infty$ で $\infty$。答えは「発散する」で、ノートの「収束する」と逆。

ノートの「$0$」はたまたま合っていて、それは $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$（第 $n$ 項の極限）。$\sqrt n$ を落とさず計算しても $a_n=\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}\to0$ になる。でも $a_n\to0$ でも級数が収束するとは限らない（この問題がその例）。逆の「$a_n$ が $0$ に近づかなければ発散」は言える。収束を言えるのは $S_n$ の極限だけ。

確かめ（数値）：$n=10$ で $\sum a_k=1.791\cdots$、$\dfrac12(\sqrt{21}-1)=1.791\cdots$。$n=1000$ で $21.87\cdots$ とふえ続ける。一方 $a_{1000}=0.0112\cdots$ は $0$ に近づいている。

図：$a_n$ は $0$ に近づくのに、$S_n$ はふえ続ける。

答　(2) は発散する（正の無限大に発散）