問題

次の数列の収束、発散について調べ、極限があれば、その極限を求めよ。
(1) $\{\sqrt n(\sqrt{n+1}-\sqrt n)\}$
(2) $\left\{\dfrac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+1}-\sqrt n}\right\}$
(3) $\{4^n-3^n\}$
(4) $\left\{\dfrac{(-2)^{n+1}-3^n}{4^n}\right\}$

書いたもの

(1) $\displaystyle\sum\sqrt n(\sqrt{n+1}-\sqrt n)=\sum\sqrt n\sqrt{n+1}-\sum\sqrt n\sqrt n=\infty-\infty=0$　収束する
(2) $\displaystyle\sum\dfrac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}-\sqrt n}=\sum\sqrt{(n+2)(n+1)}+\sum\sqrt{(n+2)n}=\infty+\infty=\infty$、同じく $\displaystyle\sum\dfrac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+1}-\sqrt n}=\infty$
したがって $\displaystyle\sum\dfrac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+1}-\sqrt n}=\infty-\infty=0$　収束する
(3) $\sum4^n$、$\sum3^n$ は公比 $|4|\ge1$、$|3|\ge1$ で発散する。よって $\sum(4^n-3^n)$ は発散する
(4) $\displaystyle\sum\dfrac{(-2)^{n+1}}{4^n}=\dfrac23$、$\displaystyle\sum\left(\dfrac34\right)^n=3$ より $\dfrac23-3=-\dfrac73$ に収束する
（4問とも自分で取消線を引いている）

どこがまずいか

問い自体を取りちがえているので、4問とも0点。(3) の「発散」も (4) の計算も、問われていることへの答えになっていない。 そのうえで、級数として見ても論理が通らない行が3種類ある。

1. 数列の問題に $\sum$ を付けている（4問とも）問題は「次の数列の収束、発散」。$\{a_n\}$ の極限は $a_n$ そのものの行き先で、$\sum a_n$ は別の問い。(1) は数列なら $\dfrac12$、級数なら $\infty$（$\frac12$ 近くの数を足しつづける）で、答えがまるで変わる。(4) の $-\frac73$ は級数の和としては正しいが、数列の極限は $0$。

2. $\sum(a_n-b_n)=\sum a_n-\sum b_n$ と分けている（(1)(2)(3)）分けてよいのは $\sum a_n$ と $\sum b_n$ が両方収束するときだけ。(1)(2)(3) は両方 $\infty$ なので分けた時点で式が意味を持たない。
検算：$a_n=n+\dfrac1{2^n}$、$b_n=n$ だと $\sum a_n=\sum b_n=\infty$ なのに $\sum(a_n-b_n)=1$。(4) は両方の公比の絶対値が $1$ 未満なので、分けたこと自体は正しい（書くなら「ともに収束するので」と一言いる。ノートには書いてある）。

3. $\infty-\infty=0$ と書いている（(1)(2)）、「発散−発散＝発散」（(3)）$\infty-\infty$ は決まらない形。$(n+1)-n\to1$、$n^2-n\to\infty$、$n-n^2\to-\infty$ と、同じ形でも行き先はばらばら。$0$ と書いた行は採点では誤りとして扱われる。(3) の「どちらも発散するから差も発散」も同じ理由で成り立たない（上の反例）。

4. (2) で分子を2つに分けてから片方ずつ有理化している$\dfrac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}-\sqrt n}$ と $\dfrac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+1}-\sqrt n}$ に分けると、どちらも $\infty$ に行く式になって、最後に $\infty-\infty$ に戻ってしまう。有理化の式変形（$\sqrt{n+2}(\sqrt{n+1}+\sqrt n)=\sqrt{(n+2)(n+1)}+\sqrt{(n+2)n}$）は正しいが、目的（引き算を消す）に向いていない。分子 $\sqrt{n+2}-\sqrt{n-1}$ はひとかたまりのまま $\sqrt{n+2}+\sqrt{n-1}$ を掛けて $(n+2)-(n-1)=3$ にする。

5. (3) の答えの書き方数列 $4^n-3^n$ は「発散」だけでなく「正の無限大に発散」まで書く（振動して発散する場合と区別する）。

こう書く

(1) $\sqrt n(\sqrt{n+1}-\sqrt n)=\dfrac{\sqrt n\{(n+1)-n\}}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\dfrac{\sqrt n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}$
$n\to\infty$ のとき $\frac1n\to0$ であるから、これは $\dfrac{1}{1+1}=\dfrac12$ に近づく。
答　収束し、極限は $\dfrac12$

(2) 分子・分母をそれぞれ有理化すると
$\sqrt{n+2}-\sqrt{n-1}=\dfrac{(n+2)-(n-1)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-1}}=\dfrac{3}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-1}}$、$\sqrt{n+1}-\sqrt n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$
よって

（分子・分母を $\sqrt n$ で割った）$n\to\infty$ のとき $\dfrac{3(1+1)}{1+1}=3$ に近づく。
答　収束し、極限は $3$

(3) $4^n-3^n=4^n\left\{1-\left(\dfrac34\right)^n\right\}$
$0<\dfrac34<1$ より $\left(\dfrac34\right)^n\to0$ なので $1-\left(\dfrac34\right)^n\to1$。また $4^n\to\infty$。
答　正の無限大に発散する

(4) $\dfrac{(-2)^{n+1}-3^n}{4^n}=-2\cdot\dfrac{(-2)^n}{4^n}-\dfrac{3^n}{4^n}=-2\left(-\dfrac12\right)^n-\left(\dfrac34\right)^n$
$\left|-\dfrac12\right|<1$、$\left|\dfrac34\right|<1$ より $\left(-\dfrac12\right)^n\to0$、$\left(\dfrac34\right)^n\to0$。
答　収束し、極限は $0$