問題

数列 $\left\{\dfrac{r^{2n}-1}{r^{2n}+1}\right\}$ の極限を求めよ。

書いたもの

$\dfrac{r^{2n}-1}{r^{2n}+1}=\dfrac{1-\frac{1}{r^{2n}}}{1+\frac{1}{r^{2n}}}$
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1-\frac{1}{r^{2n}}}{1+\frac{1}{r^{2n}}}=\dfrac{1-0}{1+0}=1$

どこがまずいか

1. $\Sigma$ が付いている。聞かれているのは数列の極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ で、$\Sigma$ を付けると「和」という別のものになる。$|r|>1$ なら $a_n\to1$ なので和は $\infty$ に発散し、「$=1$」は式として成り立たない。書いた等式そのものがまちがいなので、ここで大きく削られる。

2. $r$ の場合分けが無い。答えが「1」の1つだけになっていて、$r=\dfrac12$ なら $a_n\to-1$、$r=1$ なら $a_n=0$ になるのを落としている。$r$ がどんな数かは問題で決まっていないので、答えは $r$ の値ごとに書く。

3. $r^{2n}$ で割るところに条件が無い。$r=0$ なら $r^{2n}=0$ で割れない。割ってよいのは $r\ne0$ のときだけで、しかも $\dfrac1{r^{2n}}\to0$ になるのは $|r|>1$ のときだけ。$|r|<1$（たとえば $r=\dfrac12$）では $\dfrac1{r^{2n}}=4^n\to\infty$ で、「$1-0$」の 0 がうそになる。

4. $\dfrac1{r^{2n}}\to0$ の理由が無い。$\left(\dfrac1{r^2}\right)^n$ と公比の形にして「$0<\dfrac1{r^2}<1$ だから 0 に近づく」と書いてはじめて言える。

こう書く

$r^{2n}=(r^2)^n$ で、$r^2\ge0$ である。
(i) $|r|<1$ のとき　$0\le r^2<1$ より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}r^{2n}=0$ だから
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{r^{2n}-1}{r^{2n}+1}=\dfrac{0-1}{0+1}=-1$
(ii) $|r|=1$ のとき　$r^2=1$ より $r^{2n}=1$ だから
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{r^{2n}-1}{r^{2n}+1}=\dfrac{1-1}{1+1}=0$
(iii) $|r|>1$ のとき　$r\ne0$ なので分子・分母を $r^{2n}$ で割って
$\dfrac{r^{2n}-1}{r^{2n}+1}=\dfrac{1-\left(\frac1{r^2}\right)^n}{1+\left(\frac1{r^2}\right)^n}$
$0<\dfrac1{r^2}<1$ より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac1{r^2}\right)^n=0$ だから、極限は $\dfrac{1-0}{1+0}=1$
答　$|r|<1$ のとき $-1$、$|r|=1$ のとき $0$、$|r|>1$ のとき $1$