問題

数列 $\left\{\dfrac{r^{2n}-1}{r^{2n}+1}\right\}$ の極限を求めよ。

書いたもの

$\dfrac{r^{2n}-1}{r^{2n}+1}=\dfrac{1-\frac{1}{r^{2n}}}{1+\frac{1}{r^{2n}}}$
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1-\frac{1}{r^{2n}}}{1+\frac{1}{r^{2n}}}=\dfrac{1-0}{1+0}=1$（$r$ の場合分けなし）
ピンク：上の2行に斜線。その下に「無限等比数列の極限は」として $r>1$ のとき $\lim r^n=\infty$、$r=1$ のとき $1$、$|r|<1$ のとき $0$、$r\le-1$ のとき振動する、の表
ピンク：「無限等比数列と無限等比級数の違いが分かってない気がする。前者は $a_n$ がいくつに近づく？後者は $\lim S_n$ がいくつ？」

質問

「無限等比数列と無限等比級数の違いが分かってない気がする。前者は a_n がいくつに近づく？ 後者は lim S_n がいくつ？」

答え

その言い方で合ってる。数列の極限は「$a_n$ そのもの」の行き先、級数の和は「足した $S_n=a_1+\cdots+a_n$」の行き先。問題2は数列なので $\Sigma$ は付けない。そのうえで $r$ で場合分けが要る。

ちがいを1行で書くと、数列 $\{a_n\}$ の極限は $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$、級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ の和は $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$。級数は「足したものの数列 $\{S_n\}$ の極限」なので、見ている数列が1段ちがう。

問題2の「数列 $\{\ \cdots\ \}$ の極限」は、$n$ 番目の値 $a_n=\dfrac{r^{2n}-1}{r^{2n}+1}$ が $n\to\infty$ でどこへ行くか、を聞いている。$\Sigma$ を付けると「全部足した和」を聞く別の問題になる。しかも $|r|>1$ のとき $a_n\to1$ なので、足すと $1+1+1+\cdots$ に近い和になって $\infty$ に発散する。答えの「1」は、実は $\Sigma$ を取った $a_n$ の行き先のほうを書いていて、$\Sigma$ を付けた式の値としてはまちがい。

検算：$r=2$ で $a_1=\dfrac{3}{5},\ a_2=\dfrac{15}{17},\ a_3=\dfrac{63}{65}$。$a_n$ は 1 に近づく（数列の極限は 1）。でも $S_3=0.6+0.88+0.97=2.45$ と足すほど増えていくので級数は発散。

次に場合分け。$r^{2n}=(r^2)^n$ は公比 $r^2$ の等比数列で、$r^2\ge0$ なので、ピンクで書いた表の $r^2$ 版を使う。$r^2$ が 1 より小さいか、ちょうど 1 か、大きいかで行き先が変わる。$|r|<1$ のとき：$r^2<1$ なので $r^{2n}\to0$。$a_n\to\dfrac{0-1}{0+1}=-1$$|r|=1$ のとき：$r^{2n}=1$ がずっと続く。$a_n=\dfrac{1-1}{1+1}=0$$|r|>1$ のとき：分子・分母を $r^{2n}$ で割る。$\left|\dfrac1{r^2}\right|<1$ なので $\left(\dfrac1{r^2}\right)^n\to0$、$a_n\to1$2乗なので $r=-1$ も振動せず $r=1$ と同じ扱い（表の「$r\le-1$ は振動」はここでは出てこない）。

検算：$r=\dfrac12$ で $r^{2n}=\left(\dfrac14\right)^n$、$n=5$ で $a_5=\dfrac{1/1024-1}{1/1024+1}\approx-0.998$。$r=-3$ で $a_2=\dfrac{81-1}{81+1}\approx0.976$。

図：横が $r$、縦が極限。点線は $n=1$ と $n=4$ のときの $a_n$。$n$ が大きくなると $|r|<1$ では $-1$、$|r|>1$ では $1$ に張りつき、$r=\pm1$ だけ $0$ に残る。

まとめ：「数列の極限」は $a_n$、「級数の和」は $S_n$ の行き先で、ゆうやの言い方どおり。数列と級数で答えが分かれる例（$r=1$ だと $r^n\to1$ なのに $\sum r^{n-1}$ は発散）は問題7で出る。
答　$|r|<1$ のとき $-1$、$|r|=1$ のとき $0$、$|r|>1$ のとき $1$