問題

次の無限等比級数の収束、発散について調べ、収束する場合は、その和を求めよ。

書いたもの

与えられた式は初項 $\sqrt3-1$、公比 $\sqrt3-1$ の無限等比級数で、公比について
$|\sqrt3-1|\le1$ より収束して、その和 $S$ は

収束する　（丸）

どこがまずいか

答え（収束し、和は $\sqrt3+1$）は合ってる。有理化の計算も合ってる。でも記述だと「$\le1$」と「公比がどこから出たか」の2か所で削られる。

収束の条件を $\le1$ と書いている

• どの行か：「$|\sqrt3-1|\le1$ より収束して」。
• なぜつながらないか：無限等比級数（初項 $\neq0$）が収束するのは $|r|<1$ のときだけ。$|r|\le1$ には $r=1$ と $r=-1$ が入るが、どちらも発散する。だから「$\le1$ より収束」は、まちがった定理を使っていることになる。
• 何がまぎれこむか：同じ書き方を $1+1+1+\cdots$（初項 $1$・公比 $1$）に使うと「$|1|\le1$ より収束」となるが、$S_n=n\to\infty$ で発散する。$1-1+1-1+\cdots$（公比 $-1$）も $S_n$ が $1,0,1,0,\cdots$ と振動して発散する。
• 今回は $\sqrt3-1=0.732\cdots$ なので $<1$ でも成り立つ。だから答えは合うが、条件の書き方で減点される。問題4 でも同じ「$|0.5|\le1$」を書いていたので、くせになっている。$<$ で覚えなおす。
• ついでに：$|\sqrt3-1|<1$ は「$1<\sqrt3<2$ なので $0<\sqrt3-1<1$」と一言根拠を添えると、採点者に迷わせない。

公比 $\sqrt3-1$ を出した計算が無い

• どの行か：1行目「公比 $\sqrt3-1$ の」。
• なぜ要るか：この問題でいちばん手間がかかるのは、項が $\sqrt3-1,\ 2(2-\sqrt3),\ 2(3\sqrt3-5)$ と見た目がばらばらなのに、公比が一定だと示すところ。そこを書かずに「公比 $\sqrt3-1$」と言い切ると、採点者には暗算か当てずっぽうかが見分けられない。
• 書くのは「第2項÷初項」の1行：

• 検算：$2(2-\sqrt3)\times(\sqrt3-1)=2(2\sqrt3-2-3+\sqrt3)=2(3\sqrt3-5)$ で第3項とも合う。数でも $0.5359\div0.7320=0.7320$、$0.3923\div0.5359=0.7320$。

最後の「収束する」の置き場所

• 和を出す前に「収束して」と言い、計算の最後にもう一度「収束する」と書いていて、答えがどれか分かりにくい。最後は「答　収束し、和は $\sqrt3+1$」と1行にまとめる。

こう書く

初項 $\sqrt3-1$、第2項 $2(2-\sqrt3)$ より、公比を $r$ とすると

（第3項も $2(2-\sqrt3)(\sqrt3-1)=2(3\sqrt3-5)$ で合う）
よって、初項 $\sqrt3-1$、公比 $\sqrt3-1$ の無限等比級数である。
$1<\sqrt3<2$ より $0<\sqrt3-1<1$ なので、$|r|<1$ であり、この級数は収束する。その和は

答　収束し、和は $\sqrt3+1$