問題

座標平面上で、点Pが原点Oから出発して、$x$ 軸の正の向きに1だけ進み、次に $y$ 軸の正の向きに $\dfrac12$ だけ進み、次に $x$ 軸の正の向きに $\dfrac{1}{2^2}$ だけ進み、次に $y$ 軸の正の向きに $\dfrac{1}{2^3}$ だけ進む。以下、このような運動を限りなく続けるとき、点Pが近づいていく点の座標を求めよ。

書いたもの

（消した答案）初項 $1$、公比 $\dfrac12$ の無限等比級数で、公比について $\left|\dfrac12\right|\le1$ で収束して、その和 $S$ は

P は 2 に近づく

（ピンクの直し）誤り 間違えた
$x$：$a=1$、$r=\dfrac14$
$y$：$a=\dfrac12$、$r=\dfrac14$

どこがまずいか

直しの方針（$x$ と $y$ に分けて、どちらも公比 $\dfrac14$）は合ってる。初項 $1$ と $\dfrac12$ も合ってる。でも直しが初項と公比で止まっていて、和も答えの座標も書かれていない。答案としてはまだ0点のまま。

消した答案はなぜだめだったか（直したところの確かめ）

• $1+\dfrac12+\dfrac1{2^2}+\cdots=2$ は、P が進んだ道のりの合計。P は縦横に折れながら進むので、道のりは位置ではない。
• 問題が聞いているのは「近づく点の座標」なので、答えは $(\ ,\ )$ の形になるはず。「P は 2 に近づく」は数1つなので、形の時点でおかしいと気づける。
• 検算：正しい答え $\left(\dfrac43,\ \dfrac23\right)$ の $x+y=\dfrac43+\dfrac23=2$ で、道のりの合計 2 と合う（縦と横を足しただけなので当然）。消した答案の 2 は、この $x+y$ を出していたことになる。
• 消した側にも「$\left|\dfrac12\right|\le1$」がある。問題5 と同じで、収束の条件は $|r|<1$。

直しで足りないところ

• 和を出していない：$x=\dfrac{1}{1-\frac14}=\dfrac43$、$y=\dfrac{\frac12}{1-\frac14}=\dfrac23$ まで計算して、答え $\left(\dfrac43,\ \dfrac23\right)$ を書く。
• なぜ公比が $\dfrac14$ なのかが書かれていない：$x$ 方向に進むのは1回おきなので、$x$ に入るのは $1,\ \dfrac1{2^2},\ \dfrac1{2^4},\cdots$。となりどうしの比が $\dfrac{1}{2^2}=\dfrac14$。これを1行で書かないと「$\dfrac14$」がどこから来たか読めない。$y$ も $\dfrac12,\ \dfrac1{2^3},\ \dfrac1{2^5},\cdots$ と並べる。
• 収束の根拠が無い：$\left|\dfrac14\right|<1$ なので収束、と書く（$\le$ ではなく $<$）。
• 「$a=$、$r=$」は自分用のメモとしてはいいが、答案では「初項 $1$、公比 $\dfrac14$ の無限等比級数」と言葉で書く。

こう書く

点Pの $x$ 座標と $y$ 座標を分けて考える。
$x$ 軸の正の向きに進む長さは $1,\ \dfrac1{2^2},\ \dfrac1{2^4},\ \cdots$ なので、Pの $x$ 座標は初項 $1$、公比 $\dfrac1{2^2}=\dfrac14$ の無限等比級数

に近づく。$\left|\dfrac14\right|<1$ より収束し、その和は

$y$ 軸の正の向きに進む長さは $\dfrac12,\ \dfrac1{2^3},\ \dfrac1{2^5},\ \cdots$ なので、Pの $y$ 座標は初項 $\dfrac12$、公比 $\dfrac14$ の無限等比級数に近づく。$\left|\dfrac14\right|<1$ より収束し、その和は

答　$\left(\dfrac43,\ \dfrac23\right)$