質問と添削

数列の $-1<r\leqq1$ は合っている。級数の $|r|\leqq1$ は誤り（正しくは $|r|<1$）。この問題は「数列と級数で条件がどうちがうか」を見る問題なので、級数を誤ると問題の芯を落とす。 加えて、どちらも「場合分けして」に答えていない。

1. $\Sigma$ が付いている。聞かれているのは数列の極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ で、$\Sigma$ を付けると「和」という別のものになる。$|r|>1$ なら $a_n\to1$ なので和は $\infty$ に発散し、「$=1$」は式として成り立たない。書いた等式そのものがまちがいなので、ここで大きく削られる。

問い自体を取りちがえているので、4問とも0点。(3) の「発散」も (4) の計算も、問われていることへの答えになっていない。 そのうえで、級数として見ても論理が通らない行が3種類ある。

- 収束する範囲の答えが書いてない。 $x=0$ と $0<x<2$ を別々に調べたところで止まっていて、2つを合わせた「$0\le x<2$」がどこにも無い。問いは「収束する $x$ の範囲を求めよ」なので、この1行が答えそのもの。ここが無いと、$x=0$ を入れ忘れて $0<x<2$ と答えた人と見分けがつかない（$x=0$ のとき全部の項が $0$ で、公比 $r=1$ でも和 $0$ に収束する。$|r|<1$ だけで範囲を出すと $x=0$ が落ちる、がこの問題のひっかけ）。

- (2) の $S_n$ が和になっていない。答えが逆。 「部分和を $S_n$ とすると」と書いて、右辺は第 $n$ 項 $\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$ そのもの。有理化した $\dfrac12(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})$ も第 $n$ 項。$k=1$ から $n$ まで足すと $S_n=\dfrac12(\sqrt{2n+1}-1)\to\infty$ で、正しくは発散。ノートは「収束する」なので、答えが逆で点にならない。

- 公比が $\dfrac12$ になっている。 直前の行で $a_{n+1}+3=\dfrac23(a_n+3)$ と書いているので、公比は $\dfrac23$。$\dfrac12$ は書き写しのまちがいで、そこから下の一般項 $a_n=4\left(\frac12\right)^{n-1}-3$ はまちがった式になっている。

- 極限値を「$0$」の1つだけ書いている。 $x=2$ のとき $(x-1)^n=1^n=1$ で、極限値は $1$。$0<x\le2$ の全部で $0$ になるわけではない。問われているのは「収束する範囲」と「そのときの極限値」の2つで、2つ目が半分まちがい。範囲が合っていても、極限値の項は落とされる。

- (1) 分子は $5^n$、分母は $5^{n+1}$ と、ちがう数で割っている。 分数の値を変えずに済むのは、分子と分母を同じ数で割るときだけ。分子を $5^n$・分母を $5^{n+1}=5\cdot5^n$ で割ると、分数全体が $5$ 倍になる。だから出てきた $-1$ は、正しい答 $-\frac15$ のちょうど $5$ 倍。ゆうやのメモ「割る次数がズレてる」はその通り。

- ①の3行目で $x$ の係数を $aq$ でなく $ap$ と写している。 1つ前の行 $a(px^2+qx+r)+b$ は合っているので、展開の写しまちがい。これで④が $2abp+aq=ap$ になり、正しい $2abp=0$ からずれた。

穴は3つ。1つ目は計算、2つ目と3つ目は論証。

$f_1$ の行の「定義域なし　値域なし」。

「$y=2\sqrt3$ のときの $x$ が求める $a$」の1行に、なぜ最大値をとる場所が $x=a$（右の端）なのかが書いていない。

穴は2つ。

$f$ の「定義域なし」と $g$ の「値域なし」。